(讲义)专题3 第1讲 等差数列与等比数列-【红对勾】2023版新高考数学二轮复习讲与练

考情分析 本板块内容在高考中难度中档偏下,小题偶尔会以压轴题的形式考查新定义问题.一般以一小一大 的形式出现 考情解读 (1)对等差、等比数列基本量的考查,常利用通项公式、前 n项和公式建立方程组求解,属于低档题; (2)对等差、等比数列性质的考查,具有“新、巧、活”的特 点,考查利用性质解决有关计算问题,属于中低档题 考查内容主要是以等差、等比数列为载 体,考查(1)数列的通项、求和;(2)利用递推 关系求数列的通项、前n 项和;(3)数列与不 等式、函数交汇渗透 第一讲 等差数列与等比数列 1.判断等差(比)数列的常用方法 (1)定义法:若an+1-an=d,d为常数 an+1an = q,q为常数,q≠0 ,则{an}为等差(比)数列. (2)中项公式法. (3)通项公式法. 2.等差数列的通项公式及前n项和公式 (1)an =a1+(n-1)d=am +(n-m)d. (2)Sn = n(a1+an) 2 =na1+ n(n-1) 2 d. 3.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)an =a1qn-1=am·qn-m(q≠0). (2)Sn = na1,q=1, a1(1-qn) 1-q = a1-anq 1-q ,q≠1. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 4.等差数列与等比数列的性质 (1)在等差数列中,若m+n=p+q(m,n,p, q∈N*),则am +an =ap +aq. (2)若{an}是等差数列,则 Sn n 也是等差 数列. (3)在等差数列{an}中,Sn,S2n -Sn,S3n - S2n 也成等差数列. (4)在等比数列中,若m+n=p+q(m,n,p, q∈N*),则am·an =ap·aq. (5)在等比数列中,Sn,S2n -Sn,S3n -S2n 也 成等比数列(n为偶数且q=-1除外). 1.(2022·东北三校联考)等差数列{an}的前n 项和为Sn,已知a6=10,S8=44,则S5= ( ) A.3 B.92 C.5 D.112 2.(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3 项和为168,a2-a5=42,则a6= ( ) A.14 B.12 C.6 D.3 3.(2022·南京市、盐城市联考)在等比数列{an} 中,公比为q,a1=1,则0<q<1是数列{an} 单调递减的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 018 第一部分 专题三 数列 4.(2022·北京卷)设{an}是公差不为0的无穷 等差数列,则“{an}为递增数列”是“存在正整 数N0,当n>N0 时,an >0”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.将数列{22n-1}与{23n-2}的公共项从小到大排 列得到数列{an},则{an}的前n项和为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 等差数列、等比数列的基本运算 [例1] (1)(2022·开封市二模)已知公差 为1的等差数列{an}中,a25=a3a6,若该数列的 前n项和Sn =0,则n= ( ) A.10 B.11 C.12 D.13 (2)已知{an}为等比数列,Sn 为其前n 项 和,若2S3=a2+a3+a4,则公比q等于 ( ) A.1+ 52 B. 1- 5 2 C.1 D.2 等差数列、等比数列问题的求解策略 (1) 抓住基本量,首项a1、公差d 或公比q. (2) 熟悉一些结构特征,如前n项和为Sn=an2+ bn(a,b是常数) 的形式的数列为等差数列,通项公式 为an=p·qn-1(p,q≠0) 的形式的数列为等比数列. (3) 由于等比数列的通项公式、前n 项和公式中 变量n在指数位置,所以常用两式相除(即比值的方 式) 进行相关计算. 1.(2022·长春市质检)已知数列{an}是等比数 列,{bn}是等差数列,若a3a15=8a9,b9=a9, 则b7+b11= ( ) A.4 B.8 C.12 D.16 2.(2022·八省八校联考)设Sn 为等差数列{an} 的前n项和,且满足a1<0,S3=S9.则当Sn 取得最小值时,n的值为 ( ) A.3 B.6 C.9 D.12 等差数列、等比数列的判断与证明 [例2] (2022·全国甲卷)记Sn 为数列 {an}的前n项和.已知 2Sn n +n=2an +1. (1)证