(讲义)专题2 第3讲 三角恒等变换、解三角形-【红对勾】2023版新高考数学二轮复习讲与练

第一部分 专题二 三角函数 平面向量 第三讲 三角恒等变换、解三角形 1.熟记三角函数公式的两类变形 (1)和差角公式变形 sin αsin β+cos(α+β)=cos αcos β, cos αsin β+sin(α-β)=sin αcos β, tan α±tan β=tan(α±β)·(1∓tan αtan β). (2)倍角公式变形 降幂公式:cos2α= 1+cos 2α 2 , sin2α= 1-cos 2α 2 . 升幂公式:cos α=2cos2 α 2-1 , cos α=1-2sin2 α 2. 配方变形:1±sin α=sin α 2±cos α 2 2 . 2.正弦定理及其变形 在 △ABC 中,asin A= b sin B= c sin C=2R (R 为△ABC 的外接圆半径).变形:a=2Rsin A, sin A= a 2R ,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C等. 3.余弦定理及其变形 在 △ABC 中,a2=b2+c2-2bccos A. 变 形:b2 +c2 -a2 =2bccos A,cos A = b2+c2-a2 2bc . 4.三角形面积公式 S△ABC = 1 2absin C= 1 2bcsin A= 1 2acsin B. 5.解三角形中常用的结论 (1)在 △ABC 中,tan A +tan B +tan C= tan A·tan B·tan C. (2)在△ABC中,内角A,B,C成等差数列的 充要条件是B=60°. (3)△ABC 为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列,且a,b,c成等比数列. (4)S△ABC= abc 4R (R为△ABC的外接圆半径). 1.cos2 π12-cos 25π 12= ( ) A.12 B. 3 3 C.22 D. 3 2 2.(2022·新高考全国 Ⅱ 卷)若sin(α+β)+ cos(α+β)=22cosα+ π 4 sin β,则 ( ) A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1 3.在 △ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b, c,若a=4,sin A =2sin C,cos A =- 1 4 ,则 △ABC 的面积S= ( ) A.15 B.2 15 C.1 D.3 154 4.(2022·重庆质量调研(二))设a,b,c分别为 △ABC的内角A,B,C的对边,已知3cos C(acos C +ccos A)+b=0,则sin π 2-2C 的值为 . 5.(2021·浙江卷)在 △ABC 中,∠B =60°, AB=2,M 是BC的中点,AM=23,则AC= ,cos∠MAC= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 013 讲与练 高三二轮·数学 三角恒等变换 [例1] (1)已知2sin θ=1+cos θ,则tanθ2 等于 ( ) A.2 B.12 C.12 或不存在 D.不存在 (2)(2022·浙江卷)若3sin α-sin β= 10, α+β= π 2 ,则sin α= ,cos 2β= . 1.公式的使用过程要注意正确性,要特别注意公 式中的符号和函数名的变换,防止出现“张冠李戴” 的 情况. 2.求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将 所求角的范围尽量缩小,避免产生增解. 3.根据条件合理地拆角,如β=(α+β)-α,2α= (α+β)+ (α-β) 等. 1.若α,β都是锐角,且cos α= 5 5 ,sin(α+β)= 3 5 ,则cos β 等于 ( ) A.2525 B. 25 5 C.2525 或25 5 D. 5 5 或 5 25 2. 3 sin220°- 1 cos220°+ 64sin220°= . 正弦定理、余弦定理 [例2] (1)在 △ABC 中,角A,B,C 所对 的边分别为a,b,c,满足a=23,B=45°,C= 75°,则b= ( ) A.2 B.6 C.22 D.32 (2)在△ABC中,内角