2023年中考数学专题练习--锐角三角函数的综合题

2023年中考数学专题练习--锐角三角函数的综合题 1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）求证： ； （3）若BE=8，sinB= ，求AD的长， 2．如图，小松在斜坡 坡脚 处测得山坡对面一水泥厂烟囱顶点 的仰角为67.5°，沿山坡向上走到 处再测得烟囱顶点 的仰角为53°.已知 米，且 、 在同一条直线上，山坡坡度 . （1）求小松所在位置点 的铅直高度. （2）求水泥厂烟囱 的高.（测倾器的高度忽略不计，参考数据： ， ， ， ， ， ） 3．如图，建筑物后有一座小山，，测得小山坡脚C点与建筑物水平距离米，若山坡上E点处有一凉亭，且凉亭与坡脚距离米，某人从建筑物顶端A点测得E点处的俯角为. （1）求凉亭到地面的距离； （2）求建筑物的高.（精确到） （参考数据：，，，，，，） 4．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=6，cos A= .求: （1）DE、CD的长； （2）tan∠DBC的值. 5．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE． （1）求证：△ABE≌△DFA； （2）如果AD＝10，AB＝6，求sin∠EDF的值． 6．如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为 ，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC=25米，与凉亭距离CE=20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°. （1）E点到水平地面的距离EF； （2）建筑物AB的高．(结果精确到0.1， ) 7．如图，在矩形ABCD中，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径的⊙O与对角线AC相交于点E，连接BE，BC=BE． （1）求证：BE为⊙O的切线； （2）若当点E为AC的中点时，⊙O的半径为1，求矩形ABCD的面积． 8．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与座板CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，量得∠EOF=90°，∠ODC=30°，ON=40cm，EG=30cm． （1）求两支架落点E、F之间的距离； （2）若MN=60cm，求躺椅的高度（点M到地面的距离，结果取整数）． （参考数据：sin60°= ，cos60°= ，tan60°= ≈1.73，可使用科学计算器） 9．在如图的直角三角形中，我们知道sinα= ，cosα= ，tanα= ，∴sin2α+cos2α= + = = =1．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． （1）请你根据上面的探索过程，探究sinα，cosα与tanα之间的关系； （2）请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知α为锐角，且tanα= ，求 的值． 10．如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE＝AF. （1）求证：四边形ADEF是平行四边形； （2）若∠ABC＝60°，BD＝6，求DE的长. 11．如图，在⊙O中，OE垂直于弦AB，垂足为点D，交⊙O于点C，∠EAC=∠CAB． （1）求证：直线AE是⊙O的切线， （2）若AB=8，sin∠E= ，求⊙O的半径． 12．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值． 13．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E． （1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BE=4，DE=8，求AC的长． 14．如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，⊙D经过点B，与BC交于点E，与AB交与点F．已知tanA= ，cot∠ABC= ，AD=8． 求 （1）⊙D的半径； （2）CE的长． 15．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）． （1）求灯杆CD的高度； （2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据： =1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0