2023年中考数学专题突破——垂径定理的应用

2023年中考数学专题突破——垂径定理的应用 一、综合题 1．如图，一圆弧形桥拱的圆心为 ，拱桥的水面跨度 米，桥拱到水面的最大高度 为 米.求： （1）桥拱的半径； （2）现水面上涨后水面跨度为 米，求水面上涨的高度为　 　米. 2．一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度（AB）为16米，拱高（CD）为4米，求： （1）桥拱半径. （2）若大雨过后，桥下河面宽度（EF）为12米，求水面涨高了多少？ 3．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具。据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理. 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心 为圆心的圆，已知圆心 在水面上方，且当圆被水面截得的弦 为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）. （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦 从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 4．如图，点C是⊙O的直径AB延长线上一点，过⊙O上一点D作DF⊥AB于F，交⊙O于点E，点M是BE的中点，AB＝4，∠E＝∠C＝30°． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）求DM的长． 5．往水平放置的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示．若油面宽AB和油的最大深度都为80cm． （1）求油槽的半径OA； （2）从油槽中放出一部分油，当剩下的油面宽度为60cm时，求油面下降的高度． 6．如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）求DE的长． 7．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）. （1）点M的坐标为　 　； （2）判断点D（4，﹣3）与⊙M的位置关系. 8．如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°． （1）求∠BAC的度数； （2）若PA＝ ，求点O到弦AB的距离． 9．好山好水好江山，石拱桥在江山处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度16m时，拱顶高出水平 面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m。 （1）请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径。 （2）小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由。 10．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB=L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD=h称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型，②圆弧型. 已知这座桥的跨度L=32米，拱高h=8米. （1）如果设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴， AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式； （2）如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； （3）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度. 11．已知：如图，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，CD⊥AB，垂足为点D，F是弧AC的中点，OF与AC相交于点E，AC=8 cm，EF=2cm. （1）求AO的长； （2）求sinc的值. 12． （1）如图为水管横截面，水面宽，水的最大深度为，求的半径． （2）如图，在等边三角形中，点E为边上一点（与点C不重合），点F是边上一点，若，求的长度． 13．中国的拱桥始建于东汉中后期，已有一千八百余年的历史，如图，一座拱桥在水面上方部分是AB，拱桥在水面上的跨度AB为8米，拱桥AB与水面的最大距离为3米. （1）用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心O； （2）求拱桥AB所在圆的半径. 14．如图所示，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H． （1）如果⊙O的半径为4，CD= ，求∠BAC的度数； （2）若点E为弧ADB的中点，连接OE，CE．求证：CE平分∠OCD． 15．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC。 （1）求证：∠ACO=∠BCD； （2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径． 16．如图矩形ABCO，点A，C分别在y轴与x轴的正半轴上，O为坐标原点，B的坐标为（6，4），点D（1，0），点P为边AB上一个动点，过点D，P的圆⊙M与AB相切，⊙M交x轴于点E，连接AM， （1）当P为AB的中点时，求DE的长及⊙M的半径； （2）当AM⊥DP时，求点P的坐标与⊙M的半径； （