2023年中考数学高频考点训练——因式分解的应用

 

2023年中考数学高频考点训练——因式分解的应用

一、综合题

1．阅读下列材料：

①关于x的方程 方程两边同时乘以 得： ，即 ，故 ，所以 ．

② ； ．

根据以上材料，解答下列问题：

（1） ，则 　     　 ； 　     　 ； 　     　 ； 

（2） ，求 的值． 

2．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．

（1）图1中大正方形的面积用两种方法可分别表示为　          　、　         　；

（2）你得到的因式分解等式是：　                    　；

（3）观察图2，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为　                              　；

（4）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图3是棱长为（a+b）的正方体，被如图所示的分割线分成8块．

①用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个因式分解的等式，这个等式是：　                                                                                                                　；

②已知a+b＝5，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．

3．如图，将一张矩形纸板按照图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m>n，(以上长度单位：cm)

（1） 观察图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为　               　；

 

（2）若每块小矩形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和．  

4．仔细阅读下面的例题：

例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式及m的值．

解：设另一个因式为 ，得 ，

则 ，

， ，

解得 ， ，

∴另一个因式为 ，m的值为6．

依照以上方法解答下列问题：

（1）若二次三项式 可分解为 ，则 　     　；

（2）若二次三项式 可分解为 ，则 　     　；

（3）已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值． 

5．解答下列问题：

（1）一正方形的面积是 ，则表示该正方形的边长的代数式是　     　．

（2）求证：当n为正整数时， 能被 整除．  

6．回答下列问题：

（1）填空： 　     　　     　；  

（2）填空：若 ，则 　     　；  

（3）若 ， ，求 的值.  

7．已知，.

求：

（1）的值；

（2）的值.

8．解下列各题：

（1）分解因式： ； 

（2）利用因式分解简便计算： ． 

9．下面是多项式x3+y3因式分解的部分过程，．

解：原式＝x3+x2y﹣x2y+y3（第一步）

＝（x3+x2y）﹣（x2y﹣y3）（第二步）

＝x2（x+y）﹣y（x2﹣y2）（第三步）

＝x2（x+y）﹣y（x+y）（x﹣y）（第四步）

＝　    　．

阅读以上解题过程，解答下列问题：

（1）在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有　                               　．（至少写出两种方法）

（2）在横线继续完成对本题的因式分解．

（3）请你尝试用以上方法对多项式8x3﹣1进行因式分解．

10．已知 ， .求下列各式的值.

（1） ；

（2） .

11．阅读图中的材料：