第7章 阶段任务性复习-(教师用书word)【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

任务一　复数的概念 1．代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中实部为a，虚部为b. 2．z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为＝a－bi. 3．复数的分类 复数 (1)若z＝a＋bi(a，b∈R)是实数，则z与的关系为z＝. (2)若z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数，则z与的关系为z＋＝0(z≠0)． 4．复数相等的充要条件 a＋bi＝c＋di⇔(a，b，c，d∈R)． 1．已知在复平面内，复数z对应的点是Z(1，－2)，则复数z的共轭复数＝1＋2i. 解析：∵复数z对应的点是Z(1，－2)， ∴z＝1－2i，∴复数z的共轭复数＝1＋2i. 2．复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，(1)z∈R？(2)z为虚数？ 解：(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0， 所以解得x＝4， 所以当x＝4时，z∈R. (2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0， 所以 解得x>且x≠4. 所以当x>且x≠4时，z为虚数． 任务二　复数的几何意义 1．任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，也一一对应着一个从原点出发的向量. 2．复数加法的几何意义 若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数． 3．复数减法的几何意义 复数z1－z2是连接向量，的终点，并指向Z1的向量所对应的复数． 1．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是(　　) 　A　　　　B　　　 　　C　　　　　D A　解析：由图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)．故选A. 2．在复平面上，复数－3－2i，－4＋5i,2＋i，z分别对应点A，B，C，D，且ABCD为平行四边形，则z＝3－6i. 解析：由题意知＝，所以2＋i－z＝(－4＋5i)－(－3－2i)，所以z＝3－6i. 3．复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是2＋i，向量对应的复数是1＋2i，向量对应的复数是3－i，求C点在复平面内的坐标． 解：∵＝－， ∴对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 设C(x，y)(x，y∈R)，则(x＋yi)－(2＋i)＝2－3i， ∴x＋yi＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i， 故x＝4，y＝－2.∴C点在复平面内的坐标为(4，－2)． 任务三　复数的四则运算 1．复数的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝，且z·＝|z|2＝a2＋b2. 2．复数的四则运算 若两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)． (1)加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i； (2)减法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i； (3)乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i； (4)除法：＝＝ ＋i(z2≠0)． 1．下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　) A．i(1＋i)2 B．i2(1－i) C．(1＋i)2 D．i(1＋i) C　解析：A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；C项，(1＋i)2＝2i,2i是纯虚数；D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C. 2．已知复数z＝a＋i(a∈R)，若z＋＝4，则复数z的共轭复数＝(　　) A．2＋i B．2－i C．－2＋i D．－2－i B　解析：∵z＝a＋i，∴z＋＝2a＝4，得a＝2. ∴复数z的共轭复数＝2－i. 故选B. 3．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为. 解析：＝＝＝，根据已知条件，得a＝. 任务四　复数三角形式的运算 1．辐角和辐角主值的区别与联系 区别：辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边，以复数z所对应的向量所在射线(射线OZ)为终边的角，显然辐角有无数个．而辐角主值是指在0≤θ<2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个． 联系：θ＝2kπ＋arg z，k∈Z. 2．复数乘除运算三角形式的两个注意点 (1)转化：首先把两个复数均转化为复数三角形式的标准形式． (2)运算：利用复数乘除运算的三角形式公式运算出结果． 1．已知z＝4，则的辐角主值为. 解析：＝ ＝ ＝ ＝. ∴的辐角主值为. 2．如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是＋i和2，则点C所表示的复数为2＋i. 解析：∵A，B所表示的复数分别是＋i和2，所表示的复数为－i，把逆时针旋转60°得到，对应的复数为(cos 60°＋isin 60°)＝＋i，＝＋＝＋i＋＋i＝2＋i，即点