(教用word)第7章 7.3 7.3.1 正弦函数的性质与图象-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册(人教B版2019)

7.3　三角函数的性质与图象 7.3.1　正弦函数的性质与图象 学习任务目标 1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义． 2．掌握正弦函数的性质，会求正弦函数的定义域和值域、最小正周期、奇偶性、单调区间及函数的零点． 3．能正确使用“ 五点法” 作出正弦函数的图象． (1)sin(α＋k·2π)＝sin α(k∈Z)，sin(－α)＝－sin α． (2)函数f (x)＝(x－2)(1－x)的零点为1和2． 知识点一　函数的周期性 (1)一般地，对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f (x＋T)＝f (x)，那么就称函数f (x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期． (2)对于一个周期函数f (x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称为f (x)的最小正周期． [微训练] 若f (x)是周期为3的函数，x∈[0,3]，f (x)＝x＋1，则f (5)＝________． 3　解析：由已知得，f (5)＝f (2)＝2＋1＝3． 知识点二　正弦函数的性质 函数 y＝sin x 定义域 R 值域 [－1,1] 最大 (小)值 当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，函数值的最大值ymax＝1； 当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，函数值的最小值ymin＝－1 奇偶性 奇函数，其图象关于原点中心对称 周期性 最小正周期为2π 单调性 在区间(k∈Z)上递增； 在区间(k∈Z)上递减　 零点 kπ(k∈Z) [微训练] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)正弦函数在定义域上是单调函数． ( × ) (2)存在实数x，使得sin x＝1.5． ( × ) (3)若α>β，则sin α>sin β． ( × ) (4)是函数y＝sin x的一个零点． ( × ) 2．函数y＝sin x＋2的最大值为________． 3　解析：y＝sin x＋2与y＝sin x同时取得最大值，所以当x＝＋2kπ(k∈Z)时，y＝sin x＋2取得最大值3． 知识点三　正弦曲线 (1)定义：一般地，y＝sin x的函数图象称为正弦曲线(如图所示)． (2)对称性：正弦曲线的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z；正弦曲线的对称中心为(kπ，0)． [微训练] 以下对于正弦函数y＝sin x的图象描述不正确的是(　　) A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同 B．关于x轴对称 C．介于直线y＝1和y＝－1之间 D．与y轴仅有一个交点 B　解析：观察y＝sin x图象可知A，C，D项正确，且关于原点中心对称，故选B． 知识点四　作正弦曲线的简图 (1)五点法作y＝sin x，x∈[0,2π]的图象． ①确定五个关键点： (0,0)，(，1)，(π，0)，，(2π，0)． ②描点作图． (2)根据正弦函数在[2kπ，2π＋2kπ](k∈Z)上的图象与其在[0,2π]上的函数图象完全相同，画出正弦曲线． [微训练] 下列图象中，y＝sin(－x)在[0,2π]上的图象是(　　) D　解析：由y＝sin x在[0,2π]上的图象作关于y轴的对称图形，应为D项． 周期性和奇偶性 1．若f (x)是R上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 A　解析：由于函数f (x)的周期为5，所以f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)，又f (x)为R上的奇函数，∴f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1．故选A． 2．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x)＝－sin 5x； (2)f (x)＝5－2sin x； (3)f (x)＝xsin(π＋x)； (4)f (x)＝lg(sin x＋)． 解：(1)f (x)＝－sin 5x的定义域为R， ∵f (－x)＝－sin 5(－x)＝sin 5x＝－f (x)， ∴f (x)是奇函数． (2)由f ＝5－2sin ＝4， f ＝5－2sin＝6， 可知f ≠f ，f ＋f ≠0， 所以f (x)既不是奇函数，也不是偶函数． (3)∵f (x)＝－xsin x，定义域为R， ∴f (－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsin x＝f (x)， ∴f (x)为偶函数． (4)f (x)的定义域为R． ∵f (－x)＋f (x)＝lg[sin(－x)＋]＋lg(sin x＋)＝lg(sin2x＋1－sin2x)＝0，即f (－x)＝－f (x)， ∴f (x)为奇函数． 【类题通法】 1．判断函数奇偶性的常用方法 (1)定义法，即从f (－x)的解析式拼凑出f (