7.3.1　正弦函数的性质与图像课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

7．3　三角函数的性质与图象 7．3.1　正弦函数的性质与图象 数学 目标导向 数学 数学 自主预习 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 合作探究 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 课堂小结 数学 数学 学习目标 核心素养 理解正弦函数的性质，会求正弦函数的定义域和值域、最小正周期、奇偶性、单调区间及函数的零点 直观想象 逻辑推理 数学运算 能正确使用“ 五点法” 作出正弦函数的图象 直观想象 新知初探 1．正弦函数 对于任意一个角x，都有唯一确定的sin x与之对应，因此y＝sin x是一个函数，一般称为正弦函数． 2．函数的周期性 (1)周期：对于函数f(x)，如果存在一个______，使得对定义域内的________，都满足__________，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期． (2)最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个________，那么这个______就称为f(x)的最小正周期． 3．正弦函数的性质 4.正弦函数的图象 (1)图象： (2)对称性：对称轴x＝______________，对称中心______________． (3)五点：(0，0)，__________，(π，0)，________，________． 答案 2．(1)非零常数T　每一个x　f(x＋T)＝f(x) (2)最小的正数　最小的正数 3．[－1，1]　x＝ eq \f(π,2)＋2kπ　x＝－ eq \f(π,2)＋2kπ　2π eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))，k∈Z　kπ，k∈Z 4．(2) eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z　(kπ，0)，k∈Z (3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))　 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))　(2π，0) 初试身手 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上是递增的．(　　) (2)若存在一个常数T，使得对定义域内的每一个x，都有f(x＋T)＝f(x)，则函数f(x)为周期函数.(　　) (3)函数f(x)＝sin x－1的一个对称中心为(π，－1).(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．函数y＝x sin x是(　　) A.奇函数，不是偶函数 B.偶函数，不是奇函数 C.奇函数，也是偶函数 D.非奇非偶函数 解析：f(－x)＝－x sin (－x) ＝－x(－sin x)＝x sin x＝f(x)， 所以y＝x sin x为偶函数，不是奇函数． 答案：B 3．下列图象符合y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是(　　) 解析：把y＝sin x，x∈[0，2π]上的图象关于x轴对称，即可得到y＝－sin x，x∈[0，2π]上的图象，故选D. 答案：D 4．若sin x＝2m－1且x∈R，则m的取值范围是________． 解析：因为sin x＝2m－1，x∈R， 所以－1≤2m－1≤1， 所以0≤2m≤2⇒0≤m≤1， 所以m的取值范围是[0，1]. 答案：[0，1] 类型1　正弦函数的奇偶性 【例1】　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝cos (2π－x)－x3sin x； (2)f(x)＝ eq \f(1＋sin x－cos2x,1＋sinx). (3)f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x＋\f(3π,2))) 【解】　(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又∵f(x)＝cos x－x3sin x， f(－x)＝cos (－x)－(－x)3sin (－x) ＝cos x－x3sin x＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． (2)∵1＋sin x≠0， ∴函数定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x∈R且x≠2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z))))， ∴函数的定义域不关于原点对称， ∴函数既不是奇函数也不是偶函数． (3)∵x∈R，f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x＋\f(3π,2)))＝－cos eq \f(3,4)x. ∴f(－x)＝－cos eq \f(3,4)(－x)＝－cos eq \f(3,4)x＝f(x).∴函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x＋\f(3,2)π))为偶函数． 【规律方法】 判断函数奇偶性应把握好两个关键点 (1)关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称； (2)关键点二：看f(x)与f(－x)的关系． 对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 跟踪训练1 若函数y＝2sin (x＋θ)为奇函数，则θ＝________． 解析：因为y＝2sin (x＋θ)为奇函数， 则由f(－x)＋f(x)＝0，可得θ＝kπ，k∈Z. 答案：kπ，k∈Z 类型2　正弦函数的周期性 【例2】　判断等式sin (－ eq \f(π,3)＋ eq \f(5π,3))＝sin (－ eq \f(π,3))是否成立．如果成立，能说明 eq \f(5π,3)是函数y＝sin x的周期吗？ 【解】　sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋\f(5π,3)))＝sin eq \f(4π,3)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝－sin eq \f(π,3)，而sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－sin eq \f(π,3)， ∴上述等式成立．但不能说明 eq \f(5π,3)是y＝sin x的周期． 理由如下：若 eq \f(5π,3)为y＝sin x的周期， 则对任意实数x都有sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,3)))＝sin x，但当x＝0时，sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,3)))≠sin x， ∴ eq \f(5π,3)不是y＝sin x的周期． 【规律方法】 定义法求函数的周期 紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T，该方法主要适用于抽象函数． 跟踪训练2 (1)下列函数不是周期函数的是(　　) A.y＝－sin x，x∈R B.y＝3，x∈R C.y＝sin (4π＋x)，x∈[－10π，10π] D.y＝sin x，x∈(0，＋∞) (2)函数y＝|sin x|，x∈R的最小正周期为________． 解析：(1)对于A，－sin (x＋2π)＝－sin x，因此y＝sin x，x∈R是以周期为2π的周期函数；对于B，常函数是周期函数；对于C，周期函数的定义域不能为闭区间；对于D，当定义域为(0，＋∞)时，y＝sin x的正周期为2π.故选C. (2)设f(x)＝|sin x|， 因为f(x＋π)＝|sin (x＋π)| ＝|sin x|＝f(x)， 所以y＝|sin x|的最小正周期为π. 答案：(1)C　(2)π 类型3　正弦函数单调性的应用 【例3】　比较下列各组数的大小． (1)sin 194°和cos 160°； (2)sin eq \f(7,4)和cos eq \f(5,3)； (3)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,5)))与sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4))). 【解】　(1)sin 194°＝sin (180°＋14°) ＝－sin 14°. cos 160°＝cos (180°－20°)＝－cos 20° ＝－sin 70°. 因为0°<14°<70°<90°， 所以sin 14°<sin 70°. 从而－sin 14°>－sin 70°， 即sin 194°>cos 160°. (2)因为cos eq \f(5,3)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(5,3)))， 又 eq \f(π,2)< eq \f(7,4)<π< eq \f(π,2)＋ eq \f(5,3)< eq \f(3π,2)， y＝sin x在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上是减函数， 所以sin eq \f(7,4)>sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(5,3)))＝cos eq \f(5,3)， 即sin eq \f(7,4)>cos eq \f(5,3). (3)∵sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,5)))＝－sin eq \f(3π,5).sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(5π,4)))＝－sin eq \f(5π,4)， 由于 eq \f(π,2)< eq \f(3π,5)< eq \f(5π,4)< eq \f(3π,2)，且y＝sin x在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上单调递减， ∴sin eq \f(3π,5)>sin eq \f(5π,4)，∴－sin eq \f(3π,5)<－sin eq \f(5π,4)， 即sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,5)))<sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4))). 【规律方法】 利用正弦函数的单调性比较正弦值的大小的方法 (1)同名函数，若两角在同一单调区间，直接利用单调性得出，若两角不在同一单调区间、则要通过诱导公式把角转化到同一单调区间，再进行比较； (2)异名函数，先应用诱导公式转化为同名函数，然后再比较． 跟踪训练3 (1)求函数y＝－2sin x－1的增区间； (2)比较大小sin 2，sin 3与sin 4. 解：(1)∵y＝sin x的单调减区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))(k∈Z)， ∴y＝－2sin x－1的增区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))(k∈Z). (2)因为sin 2＝sin (π－2)，sin 3＝sin (π－3)， sin 4＝sin (π－4)＝－sin (4－π)<0， 又0<π－3<π－2< eq \f(π,2)，且y＝sin x在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函数，所以0<sin (π－3)<sin (π－2)， 即0<sin 3<sin 2. 所以sin 4<sin 3<sin 2. 类型4　正弦函数的最值 【例4】　(1)求使函数y＝－2sin x＋1取得最大值和最小值的自变量x的集合，并写出其值域； (2)求使函数y＝－sin2x＋ eq \r(3)sinx＋ eq \f(5,4)取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数的最值． 【解】　(1)当x＝2kπ－ eq \f(π,2)(k∈Z)时，ymax＝－2×(－1)＋1＝3， 当x＝2kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z)时，ymin＝－2×1＋1＝－1， ∴函数y＝－2sin x＋1取最大值时自变量x的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2kπ－\f(π,2)(k∈Z)))))，取最小值时自变量x的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2kπ＋\f(π,2)(k∈Z)))))， 其值域为[－1，3]. (2)令t＝sin x，则－1≤t≤1. y＝－t2＋ eq \r(3)t＋ eq \f(5,4)＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(\r(3),2))) eq \s\up12(2)＋2. ∴当t＝ eq \f(\r(3),2)时，ymax＝2. 此时sin x＝ eq \f(\r(3),2)， 即x＝2kπ＋ eq \f(π,3)或x＝2kπ＋ eq \f(2π,3)(k∈Z). ∴当t＝－1时，ymin＝ eq \f(1,4)－ eq \r(3).此时sin x＝－1，即x＝2kπ＋ eq \f(3π,2)(k∈Z). 综上，使函数y＝－sin2x＋ eq \r(3)sinx＋ eq \f(5,4)取得最大值时自变量x的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2kπ＋\f(π,3)或x＝2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z))))，且最大值为2. 使函数y＝－sin2x＋ eq \r(3)sinx＋ eq \f(5,4)取得最小值时自变量x的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z))))，且最小值为 eq \f(1,4)－ eq \r(3). 【规律方法】 关于与正弦函数有关的最值 (1)一次式：如果是关于正弦函数的一次式，要根据一次项的系数正负确定最值； (2)二次式：如果是关于正弦函数的二次式，则通过换元转化为一元二次函数配方求最值． 跟踪训练4 (1)函数y＝3-2sin x-1的最大值为________． (2)设|x|≤ eq \f(π,4)，求函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值． 解析：(1)－2sin x－1的最大值为1，故函数的最大值为3. (2)f(x)＝cos2x＋sinx＝1－sin2x＋sinx＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(5,4). 因为|x|≤ eq \f(π,4)，所以－ eq \f(\r(2),2)≤sin x≤ eq \f(\r(2),2)， 所以当sin x＝－ eq \f(\r(2),2)时取最小值为 eq \f(1－\r(2),2). 答案：(1)3　(2)见解析 类型5　正弦函数的图象 【例5】　用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间； ①y>1；②y<1. (2)若直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点，求a的取值范围． 【解】　按五个关键点列表： x －π － eq \f(π,2) 0 eq \f(π,2) π sin x 0 －1 0 1 0 y＝1－2sin x 1 3 1 －1 1 描点连线得： (1)由图象可知，图象在y＝1上方部分为y>1，在y＝1下方部分为y<1，所以当x∈(－π，0)时，y>1，当x∈(0，π)时，y<1. (2)如图，当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1<a<3或－1<a<1，所以a的取值范围是{a|1<a<3或－1<a<1}． 【规律方法】 “五点法”作函数y＝r sin x＋l的图象 (1)列表：以正弦函数的五点为基础，列出函数y＝r sin x＋l的五点． (2)描点：将函数y＝r sin x＋l的五点在坐标系中描出来． (3)连线：利用平滑的曲线将点连接起来，注意不能用折线连接． 跟踪训练5 作出函数y＝sin |x|的图象． 解：y＝sin |x|＝ －sin x，x<0.)) 其图象如图所示： 类型6　利用正弦函数的图象解题 【例6】　(1)函数f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x)－sin x在区间[0，2π]上的零点个数为(　　) A.1 B．2 C.3 D．4 (2)求函数y＝ eq \r(\r(3)－2sin x)的定义域、值域和零点． 【解析】　(1)令f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x)－sin x＝0， 即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x)＝sin x，如图所示． 函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x)与y＝sin x在[0，2π]上有两个交点， 故函数f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x)－sin x有两个零点． 故选B. (2)解：令 eq \r(3)－2sin x≥0，即sin x≤ eq \f(\r(3),2)， 解得 eq \f(2π,3)＋2kπ≤x≤ eq \f(7π,3)＋2kπ，k∈Z， 所以函数的定义域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2kπ，\f(7π,3)＋2kπ))，k∈Z. 因为－1≤sin x≤ eq \f(\r(3),2)， 所以0≤ eq \r(3)－2sin x≤ eq \r(3)＋2， 所以0≤ eq \r(\r(3)－2sin x)≤ eq \r(\r(3)＋2)， 故函数的值域为[0， eq \r(\r(3)＋2)]. 令y＝ eq \r(\r(3)－2sin x)＝0，解得x＝ eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z或x＝ eq \f(7π,3)＋2kπ，k∈Z. 所以函数的零点为 eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z， 或 eq \f(7π,3)＋2kπ，k∈Z. 【答案】　(1)B　(2)见解析 【规律方法】 关于正弦函数性质、图象的应用 数形结合的应用：将问题转化为正弦函数与其他初等函数图象间的关系，利用图象解决问题． 跟踪训练6 (1)函数y＝ eq \r(2sin (π－2x)－1)的定义域为(　　) A. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)≤x≤2kπ＋\f(π,6)，k∈Z)))) B. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)≤x≤kπ＋\f(π,6)，k∈Z)))) C. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)≤x≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)))) D. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,12)≤x≤kπ＋\f(5π,12)，k∈Z)))) (2)函数f(x)＝sin x－ eq \f(x,10)的零点个数是(　　) A.4 B．5 C.6 D．7 解析：(1)要使函数有意义， 则2sin (π－2x)－1≥0，即sin 2x≥ eq \f(1,2)， 则2kπ＋ eq \f(π,6)≤2x≤2kπ＋ eq \f(5π,6)，k∈Z， 则kπ＋ eq \f(π,12)≤x≤kπ＋ eq \f(5π,12)，k∈Z. 即函数的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,12)≤x≤kπ＋\f(5π,12)，k∈Z)))). 故选D. (2)令f(x)＝sin x－ eq \f(x,10)＝0，即sin x＝ eq \f(x,10)， 令y1＝sin x，y2＝ eq \f(x,10)，在同一坐标系内分别作出y1，y2的图象如图． 由图象可知图象有7个交点，即函数有7个零点．故选D. 答案：(1)D　(2)D 1．求函数的最小正周期的常用方法 (1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证． (2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sin x|. 2．判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则． 3．正弦函数单调性的说明 (1)正弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间． (2)求解(或判断)正弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步． 4．“ 五点法” 是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法． $$