(教用word)第7章 7.2 7.2.4 诱导公式(第1课时)-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册(人教B版2019)

7.2.4　诱导公式(第1课时) 学习任务目标 1．了解三角函数的诱导公式的意义和作用． 2．理解诱导公式的推导过程． 3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题． (1)sin 30°＝，sin 45°＝，sin 60°＝； (2)cos 30°＝，cos 45°＝，cos 60°＝； (3)tan 30°＝，tan 45°＝1，tan 60°＝． 知识点　诱导公式 1．诱导公式① sin(α＋k·2π)＝sin α，cos(α＋k·2π)＝cos α，tan(α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z． 2．诱导公式② 终边关系 图示 角－α与角α的终边关于x轴对称 公式 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α 3．诱导公式③ 终边关系 图示 角π－α与角α的终边关于y轴对称 公式 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α 4．诱导公式④ 终边关系 图示 角π＋α与角α的终边关于原点对称 公式 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α [微训练] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式②可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值． ( √ ) (2)对于诱导公式中的角α一定是锐角． ( × ) (3)由诱导公式③知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)． ( × ) (4)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C． ( √ ) 2．已知cos 31°＝a，则cos 211°·tan 149°的值是(　　) A． B． C． D．－ B　解析：cos 211°·tan 149°＝cos(180°＋31°)·tan(180°－31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝cos 31°·＝sin 31°＝＝． 给角求值问题 【例1】求下列各三角函数式的值． (1)cos 210°；(2)sin； (3)sin；(4)cos(－1 920°)． 解：(1)cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－． (2)sin＝sin＝sin＝sin＝sin＝． (3)sin＝－sin＝－sin＝－sin＝sin＝． (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(5×360°＋120°)＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－． 求下列各三角函数值． (1)cos； (2)tan(－765°)； (3)sin·cos·tan． 解：(1)cos＝cos＝cos ＝cos＝－cos＝－． (2)tan(－765°)＝－tan 765°＝－tan(45°＋2×360°) ＝－tan 45°＝－1． (3)sin·cos·tan ＝sincos·tan ＝－sincostan＝－××1＝－． 利用诱导公式化简 【例2】化简下列各式： (1)； (2)． 解：(1)原式＝ ＝＝－＝－tan α． (2)原式＝ ＝＝ ＝＝－1． 化简下列各式： (1)； (2)． 解：(1)原式＝ ＝＝1． (2)原式＝ ＝＝＝． 给值求值问题 探究1：计算105°＋α与α－75°的差，你能发现这两个角有什么关系？哪组诱导公式中的两个角也具有这种关系？ (105°＋α)－(α－75°)＝180°，诱导公式④(sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α)中的两个角也具有这种关系． 探究2：根据探究1的研究，解决下面的问题： 若cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值． ∵cos(α－75°)＝－<0，且α为第四象限角，∴α－75°是第三象限角． ∴sin(α－75°)＝－＝－＝－． ∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝． 【例3】已知cos＝，求cos－sin2的值． 解：∵cos＝cos ＝－cos＝－， sin2＝sin2 ＝1－cos2＝1－＝， ∴cos－sin2 ＝－－＝－． 已知cos(π＋α)＝－，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值． 解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，∴cos α＝． 又∵π<α<2π，∴<α<2π，∴sin α＝－． ∴sin(α－3π)＋cos(α－π) ＝－sin(3π－α)＋cos(π－α) ＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α ＝－(sin α＋cos α)＝－＝． 学科网（北京）股份有限公司 $