(教用word)第7章 7.2 7.2.3 同角三角函数的基本关系式-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册(人教B版2019)

7.2.3　同角三角函数的基本关系式 学习任务目标 1．能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式． 2．理解同角三角函数的基本关系式． 3．能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明． (1)在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝ ＞0)，则sin α＝，cos α＝ ，tan α＝． (2)关于正弦、余弦、正切函数值的符号的记忆口诀为：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 知识点一　同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1． (2)商数关系：tan α＝． [微训练] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)对于任意的角α，β，均有sin2α＋cos2β＝1． ( × ) (2)存在角α，使得sin α＝cos α＝． ( × ) (3)存在角α，使得tan α＝1，sin α＝． ( √ ) (4)α在第三象限时，tan α＝－． ( × ) 2．若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α等于( A ) A．－ B．　　C．± D．± 利用同角三角函数的基本关系式化简 【例1】化简：(1)； (2)－(α为第二象限角)． 解：(1)原式＝ ＝ ＝ ＝＝1． (2)∵α是第二象限角，∴cos α＜0， 则原式＝－ ＝－ ＝＋ ＝ ＝ ＝tan α． 已知α是第三象限角，化简：－． 解：原式＝－ ＝－ ＝－． ∵α是第三象限角，∴cos α＜0． ∴原式＝－＝－2tan α． 利用同角三角函数的基本关系式证明 【例2】已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1． 证明：方法一：∵tan2α＝2tan2β＋1， ∴tan2β＝．① ∵tan2β＝，∴tan2β＝， ∴sin2β＝．② 由①②，得sin2β＝ ＝＝ ＝＝2sin2α－1． 方法二：∵tan2α＝2tan2β＋1， ∴tan2α＋1＝2(tan2β＋1)． ∴＝2·． ∴＝．∴cos2β＝2cos2α． ∴1－sin2β＝2(1－sin2α)． ∴sin2β＝2sin2α－1． 求证：＝． 证明：左边＝ ＝ ＝＝＝右边． ∴原等式成立． 利用同角三角函数的基本关系式求值 已知角α的余弦值cos α＝－，试依据所学三角函数的知识探究下列问题： 探究1：若要求sin α的值，应该用什么等量关系？首先求出的值是什么？ 应该用sin2 α＋cos2 α＝1，首先计算出sin2 α． 探究2：由cos α＝－你能判断角α是第几象限角吗？这对于计算求sin α的值有什么作用？ 能判断角α是第二或第三象限角，由sin2 α计算sin α的值时，要判断sin α的符号，恰好可以用到这一信息． 探究3：试写出计算sin α，cos α的过程． ∵cos α＝－<0，∴α是第二或第三象限角． 如果α是第二象限角，那么 sin α＝＝＝， tan α＝＝＝－． 如果α是第三象限角，同理可得sin α＝－＝－，tan α＝． 【例3】已知tan α＝2，求下列代数式的值． (1)； (2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α． 解：(1)原式＝＝． (2)原式＝＝＝＝． 【例4】已知sin αcos α＝－，且0<α<π，求tan α的值． 解：方法一：∵sin αcos α＝－，sin2α＋cos2α＝1， ∴sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋2×＝， ∴(sin α＋cos α)2＝，∴sin α＋cos α＝±． 同理(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝． ∵sin αcos α＝－<0,0<α<π，∴<α<π， ∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α＝． 由 得或 ∴tan α＝－或tan α＝－． 方法二：∵sin αcos α＝－，∴＝－， ∴＝－，∴12tan2α＋25tan α＋12＝0， ∴(3tan α＋4)(4tan α＋3)＝0，∴tan α＝－或tan α＝－． 【类题通法】 1．求三角函数值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解 (2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． 2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的值的方法 (1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值． (2)若无分母时，把分母看作1，