7.2.3 同角三角函数的基本关系式-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦同角三角函数的基本关系式，通过“蝴蝶效应”情境导入，从生活现象引出事物普遍联系，衔接三角函数关系，搭建从现实到数学的学习支架。 其亮点是以情境导学培养数学眼光，通过多角度例题推导强化逻辑推理与数学运算的数学思维，用公式变形和恒等式证明提升数学语言表达。如已知三角函数值求值、恒等式证明等实例，结合课堂小结系统梳理方法，助力学生构建知识网络，教师可高效开展教学。

第七章 三角函数 7.2　任意角的三角函数 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 学习 任务 1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用． (逻辑推理) 2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(逻辑推理、数学运算) 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马孙河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国得克萨斯的一场龙卷风．这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化．蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索．从中我们还可以看出，南美洲亚马孙河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美得克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点． 必备知识·情境导学探新知 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 问题　既然感觉毫不相干的事物都是互相联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？ [提示]　sin2α＋cos2α＝1， tanα＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 知识点　同角三角函数的基本关系式   平方关系 商数关系 公式 sin2α＋cos2α＝__ tanα＝ 语言叙述 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 常见变形 sin2α＝1－cos2α； cos2α＝1－sin2α sinα＝cos αtan α； cos α＝ 1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 思考　(1)“同角”一词的含义是什么？ (2)两个公式成立的条件分别是什么？ [提示]　(1)一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1等． (2)平方关系对于α∈R都成立；商数关系中公式成立的条件为α≠k＋，k∈Z． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为sin2＋cos2＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角． (　　) (2)对任意角θ，sin2＋cos2＝1都成立． (　　) (3)对任意的角α，都有tan α成立． (　　) × √ × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 [提示]　(1)由同角三角函数的基本关系式知：sin2α＋cos2α＝1，且α为任意角． (2)在sin2α＋cos2α＝1中，令α＝可得sin2＋＝1． (3)当α＝＋kπ，k∈Z时就不成立． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 2．已知α∈，且sinα＝－，则cos α等于(　　) A．　　B．－　　C．　　D．－ √ C　[∵α∈， ∴cos α＞0， ∴cos α＝．故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 3．已知sinα－cos α＝，则sin αcos α＝________． －　[∵sin α－cos α＝， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝， ∴sin αcos α＝－．] － 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 关键能力·合作探究释疑难 类型1　同角三角函数的基本关系式及简单应用 【例1】　【链接教材P23例1、例2】 (源自人教A版教材)(1)已知sin α＝－，且α为第四象限角，求 cos α，tan α的值； (2)已知cos α＝－，且α为第二象限角，求sin α，tan α的值； (3)已知tan α＝－，求sin α，cos α的值． 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 [解]　(1)∵α为第四象限角， ∴cos α＝， tanα＝． (2)∵α为第二象限角， ∴sin α＝， tanα＝． (3)∵tan α＝－＜0， ∴α为第二或第四象限角． 当α为第二象限角时，cos α＝－，sin α＝； 当α为第四象限角时，cos α＝，sin α＝－． 【教材原题·P23例1、例2】 例1　已知sin α＝，且α是第二象限角，求角α的余弦值和正切值． 解：由sin2α＋cos2α＝1，得＋cos2α＝1，所以cos2α＝．因为α是第二象限角，cosα＜0，所以 cos α＝－，tan α＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 例2　已知tan α＝－，且α是第二象限角，求角α的正弦值和余弦值． 分析：我们把sin α和cos α看成两个未知数，这样只要列出关于sin α和cos α的两个独立的关系式，通过解关于这两个未知数的联立方程组，就可以求出sin α和cos α． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 解：由题意和同角三角函数的基本关系式，有 由②得sin α＝－cos α， 代入①整理得6cos2α＝1，所以cos2α＝． 因为α是第二象限角，所以cosα＝－，代入②式得 sin α＝－cos α＝． 反思领悟　求三角函数值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解 (2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 提醒：当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分象限讨论． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 [跟进训练] 1．(源自湘教版教材)已知tan α＝k，且角α在第三象限，求sin α，cos α． [解]　由角α在第三象限知：sin α<0，cos α<0． 由＝tan α＝k，得sin α＝k cos α． 将上式代入sin2α＋cos2α＝1， 得k2cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝． 因此cosα＝－，sin α＝tan α·cos α＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 类型2　利用同角三角函数的基本关系式化简与证明 【例2】　【链接教材P24例4、例5】 (1)化简：①cos6α＋sin6α＋3sin2αcos2α； ②＋(180°＜α＜270°)． (2)求证：＝ ． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 [解]　(1)①原式＝(cos2α＋sin2α)(cos4α－cos2αsin2α＋sin4α)＋3sin2αcos2α＝cos4α＋2sin2α·cos2α＋sin4α＝(sin2α＋cos2α)2＝1． ②因为180°＜α＜270°，所以sin α ＜0， 原式＝＋ ＝ ＝ ＝－ ． (2)证明：∵左边＝ ＝ ＝ ＝右边，∴原等式成立． 【教材原题·P24例4、例5】 例4　化简． 解：原式＝＝cos θ． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 例5　求证： (1)sin4α－cos4α＝2sin2α－1； (2)tan2α－sin2α＝tan2αsin2α； (3)． 尝试与发现：怎样证明一个恒等式？你能给出上面这些恒等式的证明过程吗？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 证明：(1)原式左边＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α) ＝sin2α－cos2α＝sin2α－(1－sin2α) ＝2sin2α－1＝右边， 因此sin4α－cos4α＝2sin2α－1． (2)原式右边＝tan2α(1－cos2α) ＝tan2α－cos2α＝tan2α－sin2α＝左边， 因此tan2α－sin2α＝tan2αsin2α． (3)(方法一)因为 ＝＝． (方法二)由题知cos α≠0，因而sin α≠－1，即1＋sin α≠0．从而 原式左边＝ ＝因此． 反思领悟　1．三角函数式化简的常用方法 (1)化切为弦，即把正切都化为正、余弦，从而减少函数名称，达到化简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号内的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 提醒：在应用平方关系式求sin α 或cos α 时，其正负号是由角α 所在的象限决定． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 2．证明三角恒等式常用技巧及遵循的原则 (1)常用技巧：切化弦、整体代换、“1”的代换等． (2)原则：由繁到简，变异为同． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 [跟进训练] 2．(1)化简：sin2αtanα＋sin αcos α． (2)求证： ＝ ． [解]　(1)原式＝sin2α· ＋cos2α· ＋2sin αcos α ＝ ＝ ． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 (2)证明：法一：右边＝ ＝ ＝ ＝左边， 所以原等式成立． 法二：左边＝ ＝ ， 右边＝ ＝ ＝ ， 所以原等式成立． 类型3　三角函数式的求值 角度1　齐次式问题 【例3】　(多选)已知tan α＝3，下列选项正确的有 (　　) A．sin α＝3cos α B．cos α＝3sin α C． D．sin2α－2sinαcos α ＝ √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 ACD　[由tan α＝3，得 ＝3， 所以 sin α＝3cos α，故A正确，B错误； 因为tan α＝3， 所以 ，故C正确； 因为tan α＝3， 所以 sin2α－2sinαcos α＝＝＝＝ ，故D正确．] 反思领悟　已知tanα 的值，求关于sin α，cos α 齐次式的值的方法 (1)对于形如 的分式，分子、分母同时除以cos α．形如 的分式、分母同时除以cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值． (2)对于形如a sin2α＋b sinαcos α＋c cos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为的分式求值． [跟进训练] 3．(1)已知 tan α＝－4，则 ＋1 的值为________． (2)若tan α＝2，则 sin4α＋sinαcos α－cos4α＝________． (1)3　(2)1　[(1)tan α＝， 则 ＝3． (2)由tan α＝2可得sin4α＋sinαcos α－cos4α＝＋sinαcos α＝sin2α－cos2α＋sinαcos α＝ 3 1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 角度2　sinα ±cos α 型求值问题 【例4】　【链接教材P23例3】 已知 sin α， cos α 是关于 x 的一元二次方程 2x2－x－m＝0 的两根． (1)求 sin α＋cos α 的值； (2)求 m 的值； (3)若 0<α<，求 sin α－cos α 的值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 [解]　(1)因为sin α， cos α 是关于 x 的一元二次方程 2x2－x－m＝0 的两根，所以 sin α＋cos α＝． (2)因为sin α， cos α 是关于 x 的一元二次方程2x2－x－m＝0 的两根， 所以sin α＋cos α＝， sin αcos α＝－，且 Δ＝－8(－m)≥0， 所以sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝， 所以1－m＝，得 m＝，满足Δ＝1＋8m≥0， 所以m＝． (3)由(2)可得 sin α＋cos α＝， sin αcos α＝－<0，因为 0<α<，所以sin α>0，cos α<0，所以 <α<， 所以 sin α－cos α＝ ＝． 【教材原题·P23例3】 例3　已知sin α－cos α＝－，求tan α的值． 解：由题意和同角三角函数的基本关系式，有 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 消去sin α，得5cos2α－cosα－2＝0，解得 cos α＝或cos α＝－． 当cos α＝时，可得sin α＝，此时tan α＝； 当cos α＝－时，可得sin α＝－，此时tan α＝＝2． 反思领悟　关于sin α ±cos α，sin αcos α的求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有： (1)(sin θ ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ． (2)(sin θ －cos θ)2＝1－2sin θcos θ． (3)(sin θ ＋cos θ)2＋(sin θ －cos θ)2＝2． (4)(sin θ －cos θ)2＝(sin θ ＋cos θ)2－4sin θ·cos θ． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 [跟进训练] 4．(1)已知 sin α＋cos α＝，则 tan α＝(　　) A．－　　B．－　　C．　　D． (2)(多选)已知θ∈， sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是 (　　) A．θ∈ B．cos θ＝－ C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝ √ √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 (1)A　(2)ABD　[(1)因为sin α＋cos α＝， sin2α＋cos2α＝1， 则可解得sin α＝，cos α＝－， 所以 tan α＝． (2)因为 sin θ＋cos θ＝， 所以＝1＋2sin θcos θ＝， 则2sin θcos θ＝－， 因为θ∈，所以 sin θ>0, cos θ<0， 所以θ∈，故A正确； 所以＝1－2sin θcos θ＝， 所以sin θ－cos θ＝，故D正确； 联立可得sin θ＝， cos θ＝故B正确； 所以 tan θ＝，故C错误．] 学习效果·课堂评估夯基础 1．(教材P26练习AT1(4)改编)已知sin θ＝，且θ 为第二象限角，则 cos θ＝ (　　) A．－ 　 　B．－ 　 　C． 　 　D． √ A　[因为sin θ＝，且 θ 为第二象限角， 所以 cos θ<0 ， cos θ＝－．] 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 2．(多选)如果 α 是第三象限角，则下列各式中成立的是(　　) A．tan α ＝－ B．cos α ＝－ C．sin α ＝－ D．tanα ＝ √ BC　[由商数关系可知A，D均不正确．当 α 为第三象限角时，cos α <0，sin α＜0，故B，C正确．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 3．(教材P26练习BT2(4)改编)已知 tan θ＝2，则 的值为(　　) A． B． C． D．2 √ C　[由题意 ．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 4．若θ∈，tanθ＋＝4，则sin θ＋cos θ＝________． 　[因为tan θ＋ 所以sin θcos θ＝>0，又θ∈，所以sin θ>0，cos θ>0，即sin θ＋cos θ>0， 则(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，所以sin θ＋cos θ＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．同角三角函数的基本关系式是什么？ [提示]　(1)平方关系：同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1． (2)商数关系：同一个角 α 的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即 ＝tan α ． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 2．sin θ ±cos θ 与sin θ cos θ 之间有何转换关系？ [提示]　(1)(sin θ ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ ； (2)(sin θ －cos θ)2＝1－2sin θcos θ ； (3)(sin θ ＋cos θ)2＋(sin θ －cos θ)2＝2； (4)(sin θ －cos θ)2＝(sin θ ＋cos θ)2－4sin θ·cos θ． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 3．已知tan α，如何求形如 或？ [提示]　已知tan α＝m，可以求 或 分母同除以cos α 或cos2α，化成关于tanα 的式子，从而达到求值的目的． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．已知 α 为第二象限角，且 sin α＝，则 tan α 的值为(　　) A．－　 　B．　 　C．－ 　　D． 课时分层作业(五)　同角三角函数的基本关系式 √ 53 C　[由题知 α 为第二象限角， 所以 cos α<0，tan α<0，因为 sin α＝， 所以 cos α＝－， tan α＝．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是(　　) A． B． C．1 D． √ C　[原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 55 3．已知tan α＝－，则的值是(　　) A． B．3 C．－ D．－3 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ A　[因为tanα＝－，所以 故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 56 4．cos2x＝(　　) A．tanx B．sin x C．cos x D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ D　[原式＝·cos2x＝·cos2x ＝·cos2x＝．故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 57 5．若α∈，且 sin α＋cos α＝－，则 sin α－cos α＝(　　) A．　　B．－　　C．±　　D．无法确定 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[因为α∈，所以 sin α<0，cos α<0， 由解得 或 所以 sin α－cos α＝ 或 sin α－cos α＝－．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 58 二、填空题 6．若sin αcos α＝－，α∈(0，)，则cos α－sin α＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 － －　[因为sin αcos α＝－＜0，α∈(0，)，所以α∈，所以cos α－sin α＜0， 所以cos α－sin α＝－＝－＝－．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 59 7．已知角 α 的终边过点 P，则 tan α＝________；＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －　－　[因为角 α 的终边过点 P，所以 tan α＝－， 故 ．] － － 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 60 8．若sin θ－cos θ＝，则tan θ＋＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －2　[由已知得(sin θ－cos θ)2＝2， 所以sin θcos θ＝－． 所以tan θ＋＝－2．] －2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 61 三、解答题 9．(1)化简： ( x 为第二象限角)； (2)求证：． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 62 [解]　(1)原式 ＝ ＝＝＝， 因为x为第二象限角， 所以上式＝＝1． (2)证明：左边 ＝＝右边． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 63 10．已知＝2，则sin θcos θ的值为(　　) A．　　B．±　　C．　　D．－ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[由条件得sin θ＋cos θ＝2sin θ－2cos θ，即3cos θ＝sin θ， ∴tan θ＝3，∴sin θcos θ＝选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 64 11．(多选)已知θ∈，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　) A．θ∈ B．cos θ＝ C．tan θ＝ D．sin θ－cos θ＝－ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 65 BD　[对于A，因为 sin θ＋cos θ＝， 则＝1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝－， 又因为θ∈，则 sin θ<0，cos θ>0，所以θ∈，故A错误； 对于D，可得＝1－2sin θcos θ＝，且 sin θ－cos θ<0， 所以sin θ－cos θ＝－ ，故D正确； 对于B，联立 可得sin θ＝cos θ＝，故B正确； 对于C，可得tan θ＝，故C错误．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 66 12．在△ABC中，若tan A＝，则sin A＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[由tan A＝>0且A是△ABC的内角可得，0<A<， 则有解得sin A＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 67 13．在平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r>0)，规定：比值叫做α的正余混弦，记作sch α．若sch α＝(0<α<)，则tan α＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[∵0<α<，则sin α>0，由正余混弦的定义可得sch α＝＝sin α－cos α． 则有因此，tan α＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 68 14．已知sin θ，cos θ 是关于x的方程 5x2＋x＋m＝0 的两个根，且 －<θ<0． (1)求； (2)求sin3θ－cos3θ的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 69 [解]　(1)因为 sin θ， cos θ 是关于 x 的方程 5x2＋x＋m＝0 的两个根， 所以sin θ＋cos θ＝－， 所以＝+ ＝＝ ＝sin θ＋cos θ＝－． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 70 (2)由sin θ＋cos θ＝－，可得 ＝1＋2sin θcos θ＝， 所以sin θcos θ＝－． 因为－<θ<0，所以sin θ<0，又sin θcos θ＝－<0， 所以cos θ>0，所以sin θ－cos θ<0， 由＝1－2sin θcos θ＝，可得 sin θ－cos θ＝－， 所以 sin3θ－cos3θ＝(sinθ－cos θ)(sin2θ＋cos2θ＋sinθcos θ)＝－． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 71 15．(1)计算cos4－sin4和cos2－sin2，cos的值，你有什么发现？ (2)计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值，你有什么发现？ (3)证明：∀x∈R，cos2x－sin2x＝cos4x－sin4x． (4)推测∀x∈R，cos2x－sin2x与cos2x的关系，不需证明． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 72 [解]　(1)cos4－sin4＝ ＝cos2－sin2＝cos． (2)cos4－sin4 ＝ ＝cos2－sin2＝0＝cos． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 73 (3)证明：cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos2x－sin2x． (4)推测cos2x－sin2x＝cos2x． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 74 $