(教用word)第7章 7.2 7.2.2 单位圆与三角函数线-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册(人教B版2019)

7.2.2　单位圆与三角函数线 学习任务目标 1．了解单位圆的概念，知道角α的正弦、余弦与角α的终边与单位圆交点的关系． 2．了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切． 3．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题． (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，则A，B两点之间的距离AB＝． (2)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sin α＝－，cos α＝，tan α＝－． 知识点一　单位圆 (1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆． (2)有关结论 如果角α的终边与单位圆的交点为P，则P的坐标为(cos α，sin α)．这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标． [微训练] 角的终边与单位圆的交点的坐标是________． 　解析：由于角的终边与单位圆的交点横坐标是cos ＝－，纵坐标是sin ＝，∴角的终边与单位圆的交点的坐标是． 知识点二　正弦线、余弦线 图示 注：(1)过角α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M． (2)角α的终边(或其反向延长线)与直线x＝1交于点T 正弦线 定义：称为角α的正弦线 注释：的方向与y轴的正方向相同时，sin α＝||；的方向与y轴的正方向相反时，sin α＝－|| 余弦线 定义：称为角α的余弦线 注释：的方向与x轴的正方向相同时，cos α＝||，的方向与x轴的正方向相反时，cos α＝－|| 正切线 定义：称为角α的正切线 注释：的方向与y轴的正方向相同时，tan α＝||，的方向与y轴的正方向相反时，tan α＝－|| [微训练] 若角α(0<α<2π)的正弦线、余弦线的长度相等，且正弦、余弦的符号相异，那么角α的值为(　　) A． B． C． D．或 D　解析：因为角α(0<α<2π)的正弦线、余弦线的长度相等，所以角α的终边落在各象限的角平分线上．又因为正弦、余弦的符号相异，所以角α的终边落在第二或第四象限的角平分线上，则α的值为或． 三角函数线的作法 1．下列四个命题中： ①α一定时，单位圆中的正弦线一定； ②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α＋π有相同的正切线； ④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上． 不正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 C　解析：由三角函数线的定义①④正确，②③不正确．②中有相同正弦线的角可能不等，如与；③中当α＝时，α与α＋π都没有正切线． 2．分别作出π和－π的正弦线、余弦线和正切线． 解：(1)在直角坐标系中作单位圆，如图甲，以Ox轴为始边作π角，角的终边与单位圆交于点P，作PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则π的正弦线为，余弦线为，正切线为． (2)同理可作出－π的正弦线、余弦线和正切线，如图乙． －π的正弦线为，余弦线为，正切线为． 利用三角函数线比较大小 【例1】分别作出和的正弦线、余弦线和正切线，并比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小． 解：如图，单位圆中， sin＝，cos＝，tan＝， sin＝，cos＝，tan＝． 显然||>||，符号皆正， ∴sin>sin； ||<||，符号皆负，∴cos>cos； ||>||，符号皆负，∴tan<tan． 设a＝sin，b＝cos，c＝tan ，则按从小到大的顺序将a，b，c排列为________． b＜a＜c　解析：如图，在单位圆O中分别作出角的正弦线，角的余弦线、正切线． 由＝π－知＝．又＜＜，易知||＞||＞||， ∴0<cos＜sin＜tan，故b＜a＜c． 利用三角函数线解不等式 在单位圆中，利用三角函数线完成下列问题 探究1：画出适合sin α＝，cos α＝－的角α终边的位置，并由此写出角α的集合． (1)作直线y＝，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB为角α终边的位置，故满足sin α＝的角α的集合为． (2)作直线x＝－，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD为角α的终边的范围．故满足cos α＝－的角α的集合为． 探究2：画出适合(1)sin α≥；(2)cos α≤－的角α终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)作直线y＝，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为． (2)作直线x＝－，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为． 【例2】利用单位圆