(教用word)第7章 7.2 7.2.1 三角函数的定义-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册(人教B版2019)

7.2　任意角的三角函数 7.2.1　三角函数的定义 学习任务目标 1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义． 2．会根据三角函数的定义确定三角函数在各象限内的符号． (1)在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，则AB＝5，sin∠BAC＝． (2)已知点M的坐标为(－3，－4)，点M在第三象限，点M到x轴的距离为4． 知识点一　任意角的正弦、余弦与正切的定义 对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝． (1)称为角α的正弦，记作sin α； (2)称为角α的余弦，记作cos α； (3)称为角α的正切，记作tan α． 因此sin α＝，cos α＝，tan α＝． 由上可知，对于每个角α，都有唯一确定的正弦、余弦与之对应；当α≠kπ＋(k∈Z)时，有唯一的正切与之对应．角α的正弦、余弦与正切，都称为α的三角函数． [微训练] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)sin α， cos α，tan α的值与点P(x，y)在角α终边上的位置无关． ( √ ) (2)同一个三角函数值只能有唯一的一个角与之对应． ( × ) 2．已知角α的终边与半径为1的圆交于点，则sin α的值为(　　) A．－ B．－ C． D． B　解析：sin α＝＝－． 知识点二　正弦、余弦与正切在各象限的符号 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． [微训练] 1．下列各角的正弦值为负数的是( D ) A． B． C． D． 2．已知cos θ·tan θ>0，那么角θ是(　　) A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第三、四象限角 D．第一、四象限角 A　解析：由cos θ·tan θ>0可知cos θ，tan θ同号，从而θ为第一、二象限角，选A． 三角函数的定义 已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，试依据任意角三角函数的定义探究下列问题： 探究1：当a＝－1时，求sin α，cos α，tan α的值． 当a＝－1时，点P的坐标为(4，－3)，所以r＝＝5， sin α＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－． 探究2：对于任意的实数a(a≠0)，求r时会遇到什么问题？ r＝＝5|a|，需要分a>0和a<0，两种情况类讨论． 探究3：对于任意的实数a(a≠0)，求sin α，cos α，tan α的值． r＝＝5|a|， 若a>0，则r＝5a，角α在第二象限， sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－； 若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限， sin α＝－，cos α＝，tan α＝－． 【例1】 已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ． 解：由题意知r＝|OP|＝，由三角函数定义得cos θ＝． 又∵cos θ＝x，∴＝x． ∵x≠0，∴x＝±1． 当x＝1时，P(1,3)，此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3． 当x＝－1时，P(－1,3)，此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3． 【例2】已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值． 解：由题意知，cos α≠0．设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)， 则x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|． (1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角， sin α＝＝＝－， ＝＝＝， ∴10sin α＋＝10×＋3＝－3＋3＝0． (2)当k<0时，r＝－k，α是第二象限角， sin α＝＝＝， ＝＝＝－， ∴10sin α＋＝10×＋3×(－)＝3－3＝0． 综上所述，10sin α＋＝0． 1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于(　　) A．　　　　　 B． C．－ D．－ D　解析：因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x＝－4，y＝3，r＝5，所以cos α＝＝－． 2．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________． －8　解析：因为sin θ＝＝－，所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8． 三角函数值符号的判断 【例3】判断下列三角函数值的符号： (1)sin 3，cos 4，tan 5； (2)sin(cos θ)(θ为第二象限角)． 解：(1)∵<3<π<4<<5<2π， ∴3,4,5的终边分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0． (2)∵θ是第二象限角， ∴－<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0． 1．点P(tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角． 二　解析：因为点P(tan α，cos α)在第三象限，所以tan α<0，cos α<0，