(教用word)第7章 7.1 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册(人教B版2019)

7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 学习任务目标 1．了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算． 2．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． (1)若α＝56°15′，β＝56.2°，则α与β的大小关系是α＞β． (2)半径为3，圆心角为120°的扇形的弧长l＝2π，面积S＝3π． 知识点一　角度制与弧度制的定义 角度制 ①1度的角：把圆周等分成360份，其中每一份所对的圆心角为1度． ②定义：用度作单位来度量角的制度称为角度制． ③规定：1度等于60分，1分等于60秒，即1°＝60′，1′＝60″ 弧度制 ①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad． ②定义：以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制 计算公式 在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝ [微训练] 下列各说法中，错误的说法是(　　) A．半圆所对的圆心角是π rad B．周角的大小等于2π C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 D　解析：根据弧度制的定义可知1弧度是指长度等于半径的弧所对的圆心角的大小，故D错误． 知识点二　弧度制与角度制的换算 (1)依据：180°＝πrad． (2)换算公式 设一个角的角度数为n，弧度数为α，则＝． [微训练] 下列转化结果错误的是(　　) A．60°化成弧度是 B．－化成角度是－600° C．－150°化成弧度是－ D．化成角度是15° C　解析：－150°化成弧度应该是－． 知识点三　弧度制下扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 度量单位类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l＝ l＝αr 扇形的面积 S＝ S＝lr＝αr2 [微训练] 圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为________． 6π　解析：扇形的面积为×62×＝6π． 弧度与角度的互化 1．(1)将112°30′化为弧度为________． (2)将－ rad化为角度为________． (1) rad　(2)－75°　解析：(1)因为1°＝ rad，所以112°30′＝×112.5 rad＝ rad． (2)因为1 rad＝， 所以－ rad＝－×＝－75°． 2．已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ的大小． 解：方法一(化为弧度)：α＝15°＝15×＝， θ＝105°＝105×＝． 显然<<1<．故α<β<γ<θ＝φ． 方法二(化为角度)：β＝＝×＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝×＝105°． 显然，15°<18°<57.30°<105°．故α<β<γ<θ＝φ． 用弧度表示角及其范围 【例1】图中阴影部分表示的角的集合为________(包括边界)． 　解析：第一象限阴影部分可表示为，第三象限阴影部分可表示为，所以整个阴影部分可表示为2kπ≤α<2kπ＋，k∈Z∪＝． 【例2】已知α＝－800°． (1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈． 解：(1)因为－800°＝－3×360°＋280°， 所以α与角终边相同，是第四象限角． (2)因为与α终边相同的角可写为2kπ＋，k∈Z的形式，而γ与α的终边相同， 所以γ＝2kπ＋，k∈Z． 又γ∈， 所以－<2kπ＋<，k∈Z， 解得k＝－1，所以γ＝－2π＋＝－． 1．用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为________． 　解析：因为终边落在OA处的角θ＝＋2kπ，k∈Z，终边落在OB处的角θ＝－＋2kπ，k∈Z，所以终边落在阴影部分的角的集合为． 2．把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角． (1)－1 500°；(2)；(3)－4． 解：(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°， ∴－1 500°可化成－10π＋，是第四象限角． (2)∵＝2π＋，∴与终边相同， 是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，＜2π－4＜π， ∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角． 弧长公式与扇形面积公式的应用 请根据弧长公式与扇形面积公式并结合下面的材料，探究以下问题： 已知扇形的圆心角是α，半径为r，弧长为l． 探究1：若α＝60°，r＝10 cm，求扇形的弧长l． α＝60°＝，l＝10×＝(cm)． 探究2：若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 由已知得，l＋2r＝20，所以S＝lr＝(20－2r)r＝10r－r2＝－(r－5)2＋25，所以当r＝5时