(教用word)第7章 7.1 7.1.1 角的推广-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册(人教B版2019)

7.1　任意角的概念与弧度制 7.1.1　角的推广 学习任务目标 1．了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角． 2．理解象限角的概念． 3．掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置． (1)若α是锐角，则α的取值范围是0°＜α＜90°． (2)若β是钝角，则β的取值范围是90°＜β＜180°． (3)直角的大小为90°，平角的大小为180°，周角的大小为360°． 知识点一　角的概念的推广 (1)角的定义 我们把有公共端点的两条射线组成的图形称为角，这个公共端点称为角的顶点，这两条射线称为角的边． (2)转角 一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边． (3)转角的分类 类型 定义 图示 正角 按照逆时针方向旋转而成的角 负角 按照顺时针方向旋转而成的角 零角 当射线没有旋转时，称为零角 [微训练] 将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为________． －25°　395°　解析：将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为35°－60°＝－25°，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为35°＋360°＝395°． 知识点二　象限角 (1)约定：①角的顶点与坐标原点重合，②角的始边落在x轴的正半轴上． (2)结论：角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角，如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限． [微训练] 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)第一象限的角都是锐角． ( × ) (2)第四象限的角可以是负角． ( √ ) (3)三角形的内角必是第一、二象限的角． ( × ) (4)－435°是第三象限角． ( × ) 知识点三　终边相同的角 所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同，k＝0时对应元素为α ． [微训练] 1．与－457°角终边相同的角的集合是(　　) A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z} B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z} C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z} D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z} C　解析：由－457°＝－2×360°＋263°，可得结论为C，或者由－457°角与－97°角终边相同，－97°角与263°角终边相同，263°角应与k·360°＋263°(k∈Z)角终边相同，故应选C． 2．下列命题中正确的是(　　) A．终边和始边都相同的角一定相等 B．始边相同而终边不同的角一定不相等 C．小于90°的角一定是锐角 D．大于或等于0°且小于90°的角一定是锐角 B　解析：终边和始边都相同的角不一定相等，但始边相同而终边不同的角一定不相等；小于90°的角包括锐角、零角和负角；零角不是锐角． 角的概念的推广 【例1】把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是(　　) A．120°　　 B．－120° C．240° D．－240° D　解析：因为该射线按顺时针方向旋转，所以旋转形成的角是负角，即为－240°． 【例2】写出下列说法所表示的角． (1)顺时针拧螺丝2圈； (2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角． 解：(1)因为是顺时针拧螺丝，所以旋转得到的角为负角，即－720°． (2)将时钟拨慢，则得到的角是正角，分针每小时转过的角是360°，所以2小时30分转过的角是2.5×360°＝900°． 求45°＋(－15°)的值，并作图说明运算的几何意义． 解：如图所示，射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为45°，OB顺时针方向旋转到OC所形成的角为15°，则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为45°＋(－15°)＝30°． 象限角的判断 【例3】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角． (1)－75°；(2)855°；(3)－510°． 解：作出各角，其对应的终边如图所示： (1)由图a可知：－75°是第四象限角． (2)由图b可知：855°是第二象限角． (3)由图c可知：－510°是第三象限角． 【例4】已知α为第二象限角，则2α，分别是第几象限角？ 解：∵α是第二象限角， ∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z， ∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°，k∈Z， ∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角． 同理45°＋·360°<<90°＋·360°． 当k为偶数时，不妨令k＝2n，n∈Z，则45°＋n·360°<