2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与角度问题

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与角度问题 1．如图1，已知抛物线C1：y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在抛物线上，若△ACP的内心恰好在y轴上，求出点P的坐标； （3）如图2，将抛物线C1向右平移一个单位长度得到抛物线C2，点M，N都在抛物线C2上，且分别在第四象限和第二象限，若∠NOy＝∠MOx，求证：直线MN经过一定点． 2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2x﹣3a与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OC＝OB＝3，点P为抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P运动过程中，使得锐角∠PCO＞∠ACO，设点P的横坐标为x，求x的取值范围； （3）如图2，当点P运动到第四象限时，连AP、BP，直线BP交y轴于点R，过点B作直线l∥AP交y轴于点Q，求证：线段QR的长度为定值． 3．已知：如图，A（1，0）、B（3，0）、F（0，），抛物线经过A，B，F三点． （1）求经过A、B、F三点的抛物线解析式； （2）点C为抛物线上对称轴右侧一点． ①连接AC交BF交于点M，且BM＝FM，将直线AC向下平移至直线l处，使得l与抛物线有且仅有一个公共点，求直线l的解析式； ②若C点坐标为（6，4）点D为直线AC下方抛物线一点，作DE垂直AC于E，连接AD，是否存在点D，使得△ADE中有一个锐角与∠AFO相等？若存在，求出点D的横坐标，若不存在，请说明理由； （3）G、N是对称轴右侧第一象限抛物线上的两点，直线AG，AN分别交y轴于K、P两点，若OK•OP＝，判断直线GN是否通过定点，如果通过，求出定点，如果没有，说明理由． 4．如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的四边形称为这条抛物线的“抛物四边形”． 如图①，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，C两点，点B为抛物线的顶点，点D在抛物线的对称轴上，则四边形ABCD为“抛物四边形”，已知A（﹣1，0），C（3，0）． （1）若图①中的“抛物四边形”ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，则顶点B的坐标为　 　（直接填空） （2）如图②，若“抛物四边形”ABCD为正方形，边AB与y轴交于点E，连接CE． ①求这条抛物线的函数解析式； ②点P为第一象限抛物线上一个动点，设△PEC的面积为S，点P的横坐标为m，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值． ③连接OB，抛物线上是否存在点Q，使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD？若存在，请直接写出点Q的横坐标：若不存在，说明理由． 5．如图1，抛物线y＝﹣x2+6x与x轴交于O、A两点，点P在抛物线上，过点P的直线y＝x+m与抛物线的对称轴交于点Q． （1）这条抛物线的对称轴是：直线　 　，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是　 　度； （2）若S△POQ：S△PAQ＝1：2，求此时的点P坐标； （3）如图2，点M（1，5）在抛物线上，以点M为直角顶点作Rt△MEF，且E、F均在抛物线上，则所有满足条件的直线EF必然经过定点N，求点N坐标． 6．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣）2+与⊙M交于A，B，C，D四点，点A，B在x轴上，点C坐标为（0，﹣2）． （1）求a值及A，B两点坐标； （2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当∠CPD为锐角时，请求出m的取值范围； （3）点E是抛物线的顶点，⊙M沿CD所在直线平移，点C，D的对应点分别为点C′，D′，顺次连接A，C′，D′，E四点，四边形AC′D′E（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心M′的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC＝OB，tan∠ACO＝． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值； （3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线y＝x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y＝x+m与对称轴交于点Q． （1）这条抛物线的对称轴是　 　，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是　 　； （2）若两个三角形面积满足S△POQ＝S△PAQ，求m的