3.2空间向量与向量运算 测试卷——2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.2空间向量与向量运算 测试卷 一、单选题 1．如图.空间四边形OABC中，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，，则下列向量相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D． 3．如图，如空间四边形中，，分别是，的中点，（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，则（    ） A．-2 B．2 C．-12 D．12 5．已知空间中四点，点在直线上，且满足，则（    ） A． B． C．1 D． 6．若正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，化简下列各式的结果为的是（　　） A． B． C． D． 7．已知是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体的棱上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 8．给出下列四个命题，其中正确的有 （1）若空间向量，满足，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中． A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 二、多选题 9．已知正方体的棱长为a，，则（    ） A． B． C． D． 10．在平行六面体中，下列各式中运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，点为棱上一点，满足，下列结论正确的是（    ） A．平面平面； B．点到直线的距离； C．当时，异面直线与所成角的余弦值为； D．点A到平面的距离为. 12．已知空间向量，，下列说法正确的是（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C． D．在方向上的投影数量为 三、填空题 13．已知向量，，且，则的值为____________． 14．已知A，B，C，D四点共面，点平面ABCD，若，则实数m的值为_________． 15．如图，在斜四棱柱中，M为AC与BD的交点，若，请用来表示向量_______． 16．光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹤雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石切成的正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为，则=___________. 四、解答题 17．如图，平行六面体中，，，，点满足 (1)求的长度 (2)求 18．已知四面体的所有棱长均为1.求： (1)； (2)； (3)若点是的重心，，求的值. 19．在如图所示的平行六面体中，找出中的共面向量. 20．如图，在平行六面体中，，，，，，且点F为与的交点，点E在线段上，有. (1)求的长； (2)将用基向量来表示，设，求的值. 21．如图，已知在平面内，D是斜边的中点，，且O到平面的距离为，，，求线段的长. 22．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点. (1)求证：； (2)求与所成角的余弦值. 参考答案 1．D 【分析】由M，N在线段OA，BC上的位置，用，，表示，，进而表示出. 【详解】因为，所以， 又因为点N为BC的中点，所以， 所以. 故选：D. 2．D 【分析】由可知四边形是平行四边形，根据相等向量的定义即可判断. 【详解】因为，则四边形是平行四边形，结合题图， ，A错误； ，B错误； 与方向不相同，C错误； ，D正确. 故选：D 3．B 【分析】利用空间向量运算法则进行计算. 【详解】. 故选：B 4．A 【分析】利用空间向量的坐标运算求出向量的和，进一步求出数量积. 【详解】由题目得 ∴. 故选：A. 5．B 【分析】根据三点共线的性质求解即可. 【详解】因为三点在同一直线上，所以，所以. 故选：B 6．B 【分析】可先画出正方体，根据向量加法的运算法则计算各式，再进行判断. 【详解】如图， ，所以A错误； ，所以B正确； ，所以C错误； ，所以D错误； 故选：B． 7．C 【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案. 【详解】如图，是棱长为8的正方体外接球的一条直径，即正方体的一条体对角线， 由正方体的特征可得其外接球半径为 , 设外接球球心为O，则 , 由于点M在正方体的棱上运动,故的最小值为球心O和棱的中点连线的长， 即为正方体面对角线的一半，为， 所以 的最小值为， 故选：C 8．A 【分析】根据向量相等的定义，单位向量的定义，以及向量的模的定义，逐个选项进行判断即可. 【详解】对于（1），取，，此时，， 但是，故（1）为假命题； 对于（2），取单位向量和， 此时，故（2）为假命题； 对于（3），若空间向量 取，， 取为零向量，此时，满足，但是 ，故（3）为假