1.4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质（课件+练习）-【超级课堂】2022-2023学年高一数学教材配套教学精品课件+分层练习(北师大版2019必修第二册）

1.4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 1 (1,0) O P α M x y   前面我们学习了周期现象，角的一边可以绕角的顶点旋转，得到了终边相同的角，如图所示，今天我们学习正弦函数、余弦函数的周期性及性质. 温故知新 水车又称孔明车，是我国最古老的 农业灌溉工具，是先人们在征服世界的 过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍 贵的历史文化遗产. 相传，水车在汉灵帝时由毕岚造出 雏形，三国时经孔明改造完善后在蜀国 推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉， 至今已有1700余年历史． 如果将水车边缘看成一个圆，如何 确定水车边缘上的点呢？   建立直角坐标系.   0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 在直角坐标系的单位圆中，求各个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入下表 观察此表格中的数据,你能发现函数y=sinx和y=cosx的变化有什么特点吗？ 5 正弦函数 y=sin x、余弦函数y=cos x 的基本性质： 正弦函数、余弦函数的 定义域为全体实数R 一、定义域 二 、最大（小）值、值域 例2.写出下列函数取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么. 解：(1)因为y=cos x+1，x∈R的最大值、最小值由 y=cosx决定，所以使函数 取得最大 值的 的集合为 使函数 取得最小值的 的集合为 最大值为 最小值为 所以使函数 取得最大值的 的集合是 最大值为3. （2）函数y=sin x，x∈R取得最大值、最小值时，函数 则取得最小值、最大值， 使函数 取得最小值的 的集合是 ，最小值为-3. 观察右图，在单位圆中，由任意角 的正弦函数、余弦函数定义不难得到下 列事实：终边相同的角的正弦函数值相 等，即 ； 终边相同的角的余弦函数值相等， 即 . 三、周期性 12 把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数. 正弦函数、余弦函数是周期函数，称 为正弦函数、余弦函数的周期. 例如， 等都是它们的周期.其中 是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期. 13 1.函数f(x)=c(c为常数) , x∈R，问函数f(x) 是不是周期函数，若是，有无最小正周期. 答:是，无最小正周期. 2.等式sin(30°+120°)=sin30°是否成立？如果成立，能否说明120°是正弦函数y=sinx,x∈R的一个周期？为什么？ 答:成立，不能说明，因为不符合定义中的每一个x. 思考 14 14 例 求下列三角函数值： （1） （2） 解：（1） 练习 求下列三角函数值 （2） 四.单调性 观察右图 ，在单位圆中，设任 意角x的终边与单位圆交于点 P(cos x,sin x)，     因此，正弦函数在区间 上是增加的，在区 间 上是减少的. 思考：在单位圆中余弦函数的单调性又是如何呢？           五、三角函数值在各象限的符号 思考1 角α的正弦、余弦、正切的值的正负与谁有关？ 与角α终边所在的象限有关. 思考2 如何判断角α的正弦、余弦、正切值的正负？ 角α的正弦、余弦、正切值的正负只与点P(u,v)的坐标u,v的正负有关，所以可通过u,v的正负来判断角α的正弦、余弦、正切值的正负. 根据三角函数的定义，研究三角函数的值在各个象限的符号. O x y O x y + _ + + + _ _ _ 口诀： Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ全负，Ⅳ余弦 sin a=y cos a=x sina cosa 23 提升总结：正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号 象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 图示 正弦函 数符号 余弦函 数符号 + + - + + - - - 例5 确定下列三角函数值的符号：