数列大题训练-2023届高考数学二轮复习专题

数列大题训练 1.已知数列满足：，且．设． （1）证明：数列为等比数列，并求出的通项公式； （2）求数列的前2n项和． 2.已知数列的前n项和为，且满． (1)求证数列是等比数列． (2)若数列满足求数列的前n项和． 3.已知数列的前项和为，，当时，. （1）求； （2）设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围. 4.已知数列前n项积为，且． （1）求证：数列为等差数列； （2）设，求证：． 5.已知等差数列的公差为2，其前项和（，）. （1）求的值及的通项公式； （2）在等比数列中，，，令（）， 求数列的前项和. 6.已知数列的前项和为，数列为等差数列，满足，． （I）求数列和的通项公式； （II）求数列的前项和． 1.已知数列满足：，且．设． （1）证明：数列为等比数列，并求出的通项公式； （2）求数列的前2n项和． 【答案】（1） （2）数列的前2n项和为 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推公式可得，由此构造数列，进而证明结论； （2）根据数列的递推公式可得数列的偶数项与奇数项之间的关系，由（1）可得数列的奇数项的通项公式，利用等比数列的求和公式，进而求得答案. 【小问1详解】 由题意可知：， ， 故，即， 故是以为首项，以为公比的等比数列， 且， 故 【小问2详解】 由（1）知，,即， 由题意知：，故， 故数列的前2n项和 . 2.已知数列的前n项和为，且满． (1)求证数列是等比数列． (2)若数列满足求数列的前n项和． 【答案】(1)答案见解析；’ (2). 【分析】（1）证明见解析； （2）先求出，利用裂项相消法求和. (1) 对于， 当n=1时，由. 当，有，此时， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. (2) 由（1）知，，所以. 所以当n=1时，； 当，有， 经检验，对n=1也成立. 所以. 所以. 所以 . 3.已知数列的前项和为，，当时，. （1）求； （2）设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入化简可得为等差数列，进而可得结果； （2）利用错位相减法求出，再利用分离参数的思想即可得结果. 【小问1详解】 当时，， 所以，， 整理得：，即. 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. 所以，即. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以，① 所以，② ①-②得，， 所以，， 所以，， 所以，即，即， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以. 4.已知数列前n项积为，且． （1）求证：数列为等差数列； （2）设，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知得，，两式相除整理得，从而可证得结论， （2）由（1）可得，再利用累乘法求，从而，然后利用放缩法可证得结论 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 两式相除，得，整理为， 再整理得，． 所以数列为以2为首项，公差为1的等差数列． 【小问2详解】 因为，所以， 由（1）知，，故， 所以． 所以 ． 又因为， 所以． 5.已知等差数列的公差为2，其前项和（，）. （1）求的值及的通项公式； （2）在等比数列中，，，令（）， 求数列的前项和. 答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）由求得的值及的通项公式；（2）由题意可得：， 分奇偶项讨论，分组求和即可. 试题解析： （1） ， ， ， ， （2）∵， ∴，， 当时， ， ， ， 当时，是偶数， . 6.已知数列的前项和为，数列为等差数列，满足，． （I）求数列和的通项公式； （II）求数列的前项和． （I）解法一：设的公差为因为 则时，有，两式相减，得 当为偶数时，有，令，得 所以且； 当为奇数时，有，可得，得 即． 综上可得.或， 当时，有 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $