1.1.2 数列的函数特性（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

1．2　数列的函数特性 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解数列可视作定义在正整数集(或其子集)上的函数概念，会画数列的图象． 2．会利用数列的图象、通项公式判断数列的增减性． 重点 难点 重点：掌握数列的函数特性． 难点：判断数列的增减性. 1．数列的图象 可以把一个数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为(n，an)，n＝1,2,3，…这个图象也称为数列的图象． 2．数列的单调性 递增数列 一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1>an，那么这个数列叫作递增数列 递减数列 一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1<an，那么这个数列叫作递减数列 常数列 如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列 1．判断正误 (1)一个数列，如果它不是递增数列，就是递减数列．(　 ) (2)数列是特殊的函数，因此其图象是连续不断的曲线．(　 ) (3)可以用判断函数单调性的方法判断数列的单调性．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．已知数列{an}满足an＋1－an－3＝0，则数列{an}是(　 ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 解析：选A　由条件得an＋1－an＝3>0，可知an＋1>an，所以数列{an}是递增数列． 3．已知递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是(　 ) A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0] 解析：选C　an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0. 4．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}的最大项为(　 ) A．5 B．11 C．10或11 D．36 解析：选D　∵an＝－n2＋10n＋11＝－(n－5)2＋36，∴当n＝5时，an取得最大值36. ———————————————————————————————————— 利用图象判断数列的单调性 ———————————————————————————————————————— [典例]　已知数列{an}的通项公式为an＝，画出它的图象，并判断增减性． [解]　图象如图所示，该数列在{1,2,3,4}上是递减的，在{5,6，…}上也是递减的． 利用数列的图象判断数列的增减性 数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋势，从而可判断数列的增减性．　　 [对点训练] 已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n＋2，画出该数列的图象，并判断该数列的增减性． 解：由题可知，数列{an}的通项公式为an＝(－1)n＋2，n∈N＋，∴a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1，…，则数列{an}的图象如图所示，所以该数列既不是递增的，也不是递减的． ———————————————————————————————————— 定义法判断函数的单调性 ———————————————————————————————————————— [典例]　已知数列{an}的通项公式为an＝，讨论数列{an}的单调性． [解]　an＝＝1＋， 故an－an－1＝－， 当2≤n<即2≤n≤15时，an－an－1<0即an<an－1，但此时an<1， 当n>1＋即n≥17时，an－an－1<0即an<an－1，但此时an>1， 而a16>1>a1， 综上，当1≤n≤15时，{an}为递减数列，当n≥16时，{an}为递减数列， 即a15<a14<…<a1<1,1<an<an－1<…<a16. 作差法比较an＋1－an与0的大小的策略 若an＋1－an>0对于任意n(n∈N＋)恒成立，则数列{an}是递增数列； 若an＋1－an<0对于任意n(n∈N＋)恒成立，则数列{an}是递减数列； 若an＋1－an＝0对于任意n(n∈N＋)恒成立，则数列{an}是常数列．　　 [对点训练] 写出数列1，，，，，…的通项公式，并判断它的增减性． 解：该数列的通项公式为an＝， ∴an＋1－an＝－ ＝. ∵n∈N＋，∴(3n＋1)(3n－2)>0， ∴an＋1<an，∴该数列为递减数列． ———————————————————————————————————— 数列的函数特性的应用 ———————————————————————————————————————— [典例]　已知an＝(n∈N＋)，则数列{an}中有没有最大项？如果有，求出最大项；如果没有，请说明理由． [解]　法一：由an＝(n∈N＋)得，an＋1－an＝－＝，n∈N＋. 当n<8时，an＋1－an>0，即an＋1>an，即{an}在n<8时单调递增；当