“四翼”检测评价(二) 数列的函数特性（Word练习）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

“四翼”检测评价(二) 数列的函数特性 (一)基础落实 1．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　 ) A．1，，，，… B．sin，sin，sin，… C．－1，－，－，－，… D．1，，，…， 解析：选C　A是递减数列，B是摆动数列，D是有穷数列，故选C. 2．若数列{an}满足an＝3n，则数列{an}是(　 ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 解析：选A　an＋1－an＝3n＋1－3n＝2×3n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列． 3．已知数列{an}是递增数列，且其通项公式为an＝n2＋λn，则实数λ的取值范围是(　 ) A. B．[0，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－3，＋∞) 解析：选D　法一：由{an}是递增数列且an＝n2＋λn，得an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－(n2＋λn)＝2n＋1＋λ>0对n∈N＋恒成立，所以λ>[－(2n＋1)]max，即λ>－3. 法二：由{an}是递增数列得－<，解得λ>－3. 4．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}的最大项是(　 ) A．a1 B．a9 C．a10 D．不存在 解析：选A　∵a1>0且an＋1＝an，∴an>0，＝<1，∴an＋1<an，∴此数列为递减数列，故最大项为a1. 5．对任意的a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象是(　 ) 解析：选A　据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选A. 6．若数列{an}的通项公式为an＝(k>0，且k为常数)，则该数列是________(填“递增”“递减”)数列． 解析：＝·＝<1.∵k>0，∴an>0， ∴an＋1<an，∴{an}是递减数列． 答案：递减 7．已知下列数列： ①2,4,8,12； ②0，，，…，，…； ③1，，，…，，…； ④1，－，，…，，…； ⑤1,0，－1，…，sin，…； ⑥6,6,6,6,6,6. 其中，(1)递增数列是________； (2)递减数列是________．(填序号) 解析：对于①，因为2<4<8<12，故①为递增数列．对于②，数列的通项为an＝，故an＝1－，故an－an－1＝－＝>0，故{an}为递增数列，故②为递增数列．对于③，数列的通项为bn＝， 故bn－bn－1＝－＝－<0，故{bn}为递减数列，故③为递减数列．对于④，因为1>－，－<，故此数列既不是递增数列，也不是递减数列．对于⑤，该数列的第4项为sin＝0，故该数列的前4项为：1,0，－1,0，而1>0>－1，－1<0，故⑤中数列既不是递增数列，也不是递减数列，而⑥中数列为常数列． 答案：(1)①②　(2)③ 8．在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，n∈N＋，该数列从第________项开始递增，数列的最小值为________． 解析：由题意，an＋1－an＝2n－7，令2n－7>0，得n>，故数列{an}从第4项开始递增．an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，故当n＝4时，{an}的最小值为a4＝－36. 答案：4　－36 9．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值． 解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4，又n∈N＋，∴n＝{2,3}，即数列中有两项是负数． (2)法一：∵an＝n2－5n＋4＝2－，可知对称轴方程为n＝.又n∈N＋，∴n＝2或3时，an有最小值且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2. 法二：设第n项最小，由得解得2≤n≤3，∴n＝2或3，即a2＝a3时最小，则a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2. 10．已知首项为x1的数列{xn}满足xn＋1＝(a为常数)． (1)若对于任意的x1≠－1，有xn＋2＝xn对于任意的n∈N＋都成立，求a的值； (2)当a＝1时，若x1>0，数列{xn}是递增数列还是递减数列？请说明理由． 解：(1)∵xn＋2＝＝＝＝xn， ∴a2xn＝(a＋1)x＋xn⇒(a2－1)xn＝(a＋1)x，令n＝1，得(a2－1)x1＝(a＋1)x， 要该式对任意的x1≠－1都成立，∴解得a＝－1. (2)数列{xn}是递减数列． ∵x1>0，xn＋1＝，∴xn>0(n∈N＋)． 又∵xn＋1－xn＝－xn＝－<0(n∈N＋)，故数列{xn}是递减数列． (二)综合应用 1．(多选)数列{an}的通项公式为an＝n＋，则(　 ) A．当a＝2时，数列{an}的最小值是