北京大学2023年优秀中学生寒假学堂数学试题

1 北京大学 2023 年优秀中学生寒假学堂 数学试题 说明：本试题为考生回忆版，共 20 题，每题 5 分，考试时间 60 分钟。 1．设复数 , ,a b c满足 2 2 2 3 3 30, 3a b c a b c a b c         ，则 2023 2023 2023a b c  的值为 A．0 B．3 C．2023 D．其它三个答案都不对 2．方程组 2 2 2 3 3 34, 6, 10x y z x y z x y z         的解的个数为 A．0 B．3 C．6 D．其它三个答案都不对 3．设三角形 ABC的三个顶点为复平面上的三点 1 2 3, ,z z z ，满足 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 10, 8 2i, 15 10iz z z z z z z z z z z z         ， 则三角形 ABC内心的复数坐标 z的虚部所在区间为 A． (0.0,5) C． (1,2) B．(0,0.5) D．其它三个答案都不对 4．若 P是三角形 ABC的外心， 0, 120PA PB BC C        ∠ ，则实数 的值为 B．其它三个答案都不对 2 A． -1 C． −3 D． 1 2  5．在四面体 ABCD中，面 ABC与面 BCD成 60的二面角，顶点 A在 BCD的投影 H是三角 形 BCD的垂心，G是三角形 ABC的重心，若 4,AH AB AC  ，则 GH的长度是 A． 4 23 9 B． 4 19 9 C．其它三个答案都不对 D． 4 21 9 6．过单位正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 对角线 1BD 做截面，则截面面积的最小值为 A． 6 3 B． 6 4 C．其它三个答案都不对 D． 6 2 2 7．已知直线 l与双曲线 2 2 2 2 1( 0) x y b a a b     两支分别交于点 ,P Q，O为原点，若OP OQ ， 则 O到直线 l的距离为 A． ab b a B． 2ab b a C．其它三个答案都不对 D． 2 2 ab b a 8．在三角形 ABC中， 4 4 4 2 2 2, , , 2 ( ), 72AB c AC b BC a a b c c a b A          ，则 B  A．其它三个答案都不对 B． 63 C． 45 D． 60 9．设 2 2 21 2 1011 1 3 3 5 2021 2023 S         ，则 [ ]S 的值为 A．251 B．252 C．其它三个答案都不对 D．253 10．过椭圆 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b     左焦点 1F 做倾角为 60的直线 l交椭圆与 ,A B两点，若 2AF BF ，则椭圆的离心率为 A． 3 4 B． 2 3 C．其它三个答案都不对 D． 1 2 11．以一个正方体的顶点为顶点构成的棱锥的个数为 A．其它三个答案都不对 B．104 C．106 D．108 12．已知函数 :f R R 的图像关于点 3( ,0) 4  中心对称且 3( ) ( ), ( 1) 1, (0) 2 2 f x f x f f       ， 则 (1) (2) (2022)f f f   的值为 A．其它三个答案都不对 B． 6 C．6 D．0 3 13．已知数列{ }na 满足 1 2 1 11, 1, , 2n n na a a a a n      ，则 2020 2023 2021 2022a a a a   的值为 A． 1 B．1 C． 2 D．其它三个答案都不对 14．对于任意的实数 z，方程组 2 2 , 2 3 1, x ay z xy z z       有实数解 ( , )x y ，则参数 a的变化范围是 A．[ 4,0) B． [ 2,2) C．其它三个答案都不对 D．[0,4) 15．以一个给定正 2022边形的 4 个顶点为顶点的梯形称为好梯形，好梯形的个数为 A．1009 1010 1011  B．1008 1009 1010  C．1000 1011 1012  D．其它三个答案都不对 16．已知圆内接四边形的边长为 2, 6, 4AB BC CD DA    ，则四边形 ABCD的面积为 A．8 3 B． 6 3 C． 4 3 D．其它三个答案都不对 17．设 π, (0, ) 2 x y ，则 2 2 2 2 1