第11章 解三角形 章末小结与质量评价（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

一、系统认知·形成数学思维　(对应学生用书P62) (一)贯通知识体系和联系 (二)把握数学思想和方法 1．分类讨论思想：主要应用在以下两个方面：(1)解三角形时，有时需分锐角三角形、钝角三角形和直角三角形． (2)用正弦定理求角时，要根据角的大小或范围，讨论角的个数等． 2．转化与化归思想：在解三角形中，主要体现在用正、余弦定理“化边为角”或“化角为边”，在实际应用中建立数学模型将实际问题转化为数学问题来解决． 3．数形结合思想：在解三角形的实际问题中，根据题意画出图形再解决问题，充分体现了数形结合思想的应用． 4．函数与方程主要体现在用余弦定理解三角形时由于公式中有四个量，能够做到知三求一，或通过解方程得到，在实际问题中，利用正、余弦定理建立目标函数解决问题． [自我小结]_______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 　　　　　　　　 二、把握重点·常考题型集训　(对应学生用书P63) 题型一　利用正、余弦定理解三角形　 1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆的半径R＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选D　因为b＝8，c＝3，A＝60°，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝64＋9－2×8×3×＝49，所以a＝7，所以此三角形外接圆的直径2R＝＝＝，所以R＝. 2．在△ABC中，边a，b，c所对角分别为A，B，C，且＝＝，则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形 B．有一个角为30°的直角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个角为30°的等腰三角形 解析：选C　在△ABC中，由正弦定理可得＝＝ ，又＝＝＝＝，∴sin B＝cos B ，且sin C＝cos C ，故B＝C＝，A＝，故△ABC的形状为等腰直角三角形． 3．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为(　　) A. B. C．2 D．2 解析：选A　∵在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，∴AB·AC·sin A＝，即×2×AC×＝，解得AC＝1，由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos A＝1＋4－2＝3，则BC＝. 4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________. 解析：由题意得＝， 即sin B＝＝＝， 结合b＜c可得B＝45°， 则A＝180°－B－C＝75°. 答案：75° 5．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A)． (1)求角C； (2)若c＝2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度． 条件①：△ABC的面积S＝4且B＞A； 条件②：cos B＝. 解：(1)由题意及余弦定理，得2b2＝2bccos A·(1－tan A)． ∴b＝c(cos A－sin A)， 由正弦定理可得sin B＝sin C(cos A－sin A)， ∴sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin Ccos A ＝sin Ccos A－sin Csin A， ∴sin Acos C＝－sin Csin A， 又sin A≠0， ∴tan C＝－1，又0＜C＜π， 解得C＝. (2)选择条件①，△ABC的面积S＝4且B>A， ∴S＝absin C＝ab＝4， ∴ab＝8.① 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C， 故(2)2＝a2＋b2－2×8×， 即a2＋b2＝24.② 由①②可得a＝2，b＝4或a＝4，b＝2. 又B>A，∴b>a. ∴a＝2，b＝4.∴CD＝a＝. 在△ACD中，由余弦定理可得 AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos C， 解得AD＝. 选择条件②，cos B＝， ∴sin B＝. ∵sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝， ∴由正弦定理可得a＝＝2. 在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B，解得AD＝. 三角形共有6个元素，当已知条件比较复杂时，需要我们辨别有用的条件，恰当地选择定理来解决问题． 常见情况： (1)当已知条件以边或正弦值之比的关系出现时，选择正弦定理； (2)当已知条件涉及正弦或外接圆