第9章 平面向量 章末小结与质量评价（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

一、系统认知·形成数学思维　 (一)贯通知识体系和联系 (二)把握数学思想和方法 1．在研究向量的模的运算及夹角运算时能利用公式计算的可以直接应用公式计算，不能直接应用公式的可以应用数形结合的思想进行计算、求解． 2．在解决向量的夹角问题，向量的平行、垂直关系的研究均可化归为它们对应向量或向量的坐标运算问题，三角形形状的判定可归结为判断向量的数量积与零的大小的关系问题．向量的数量积的性质：a·a＝a 2＝|a|2作为桥梁，沟通了向量与实数间的转换关系．解题时，可根据问题要求选择将向量运算(向量的数量积)转化为实数运算(向量的模)或将实数运算化归为向量运算，体现了转化与化归思想． 3．向量中的一些知识：平行向量可以分为同向向量或反向向量；向量b在a方向上的投影值，随a与b的夹角不同有正数、负数或零等三种情形，体现了分类讨论思想． 二、把握重点·常考题型集训　 题型一　平面向量的线性运算　 1．(多选)已知a，b为两个非零向量，则下列说法中正确的是(　　) A．2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍 B．－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的 C．－2a与2a是一对相反向量 D．a－b与－(b－a)是一对相反向量 解析：选ABC　先从实数的正负判断两向量方向的关系，再找两向量模的关系，从而得出结论．A正确，因为2>0，所以2a与a的方向相同，且|2a|＝2|a|.B正确，因为5>0，所以5a与a的方向相同，且|5a|＝5|a|，又－2<0，所以－2a与a的方向相反，且|－2a|＝2|a|，所以5a与－2a的方向相反，且－2a的模是5a的模的.C正确，按照相反向量的定义可以判断．D不正确，因为－(b－a)与b－a是一对相反向量，而a－b与b－a是一对相反向量，所以a－b与－(b－a)是相同的向量． 2. 在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝(　　) A.a＋b　　　　　　　 B.a＋b C.a－b D.a－b 解析：选A　＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝＋＝a＋b.故选A. 3．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若a－2b＋3c＝0，则c＝(　　) A. B. C. D. 解析：选D　a－2b＋3c＝(5，－2)－2(－4，－3)＋3(x，y)＝(5＋8＋3x，－2＋6＋3y)＝(13＋3x，4＋3y)＝0，所以所以 4.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，点M，N分别是DA，BC的中点，且＝k，设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底表示向量，，. 解：∵＝e2，且＝k，∴＝k＝ke2. ∵＋＋＋＝0，∴＝－－－ ＝－＋＋＝e1＋(k－1)e2. 又∵＋＋＋＝0，且＝－，＝，∴＝－－－ ＝－＋＋＝e2. 向量线性运算的基本原则和求解策略 (1)基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量．因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面． (2)求解策略 ①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧． ②字符表示下的线性运算的常用技巧：首尾相接用加法的三角形法则，如＋＝；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如－＝.　　 题型二　向量的数量积运算　 1. 在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝(　　 ) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：选A　 由四边形ABCD为平行四边形，知＝＋＝(3，－1)，故·＝(2,1)·(3，－1)＝5. 2．已知△ABC的外接圆圆心为O，且2＝＋，||＝||，则向量在向量上的投影向量为(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：选A　由2＝＋知，O为BC的中点，根据题意作图， 因为O为△ABC的外接圆圆心， 所以OA＝OB＝OC， 因为||＝||，所以AB＝OB＝OA＝OC， 所以△AOB为正三角形，∠ABO＝60°， 所以在上的投影向量为＝. 3．在边长为1的正方形ABCD中，M为边BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是(　　) A. B. C. D．[0,1] 解析：选C　将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0≤x≤1. 因为M，C(1,1)， 所以＝，＝(1－x,1)， 所以·＝·(1－x,1)＝(1－x)2＋.因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤， 即·的取值范围是. 4．设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝________. 解析：因为＝＋＝＋， ＝－＝－＋， 所以·＝(4＋3)×(4－3)＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9. 答案：9 向量数量积的求解策略