14.4.2 用样本估计总体的离散程度参数 （Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

14．4.2　用样本估计总体的离散程度参数 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)． 2.理解离散程度参数的统计含义． 重点 难点 重点：用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)． 难点：理解离散程度参数的统计含义. 1．极差 我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差． 2．方差 (1)方差的定义 设一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为，则称s2＝ (xi－)2为这个样本的方差，简称样本方差． (2)方差的计算 ①s2＝ (xi－)2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． ②一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其方差为p1(x1－)2＋p2(x2－)2＋…＋pn(xn－)2. ③一般地，如果总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1，xj2，…，x，第j层的样本量为nj，样本平均数为j，样本方差为s，j＝1,2，…，k.记nj＝n，那么，所有数据的样本方差为s＝ (x－)2＝ nj[s＋(j－)2]． (3)方差的性质 设数据x1，x2，…，xn的平均数为 ，方差为s2，则 ①s2＝(x－n2)； ②数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2； ③数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2； ④数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2. 3．标准差 方差的算术平方根s＝ 为样本的标准差，简称样本标准差． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0.(　　) (2)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散．(　　) (3)在实际问题中要做出有效决策时，主要参照样本数据的平均数和标准差或方差．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图1,2,3，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有(　　) A．s3＞s1＞s2　　　　　　 B．s2＞s1＞s3 C．s1＞s2＞s3 D．s3＞s2＞s1 解析：选D　所给图是成绩分布图，平均分是75分，在图1中，集中在75分附近的数据最多，图3中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在任何一个数据附近，图2介于两者之间．由标准差的意义可得s3＞s2＞s1. 3．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为(　　) A．1　　　 B.　　　　C.　　　　D．2 解析：选B　∵样本容量n＝5，∴＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，∴s2＝[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2，则s＝ . —————————————————————————————————— 方差、标准差的计算与应用 ————————————————————————————————————— [典例]　某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩(单位：分)如下： 甲组：60,90,85,75,65,70,80,90,95,80； 乙组：85,95,75,70,85,80,85,65,90,85. (1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差； (2)哪一组的成绩较好？ [解]　(1)甲组：最高分为95，最低分为60，极差为95－60＝35， 平均数为甲＝×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79， 方差为s＝×[(60－79)2＋(90－79)2＋…＋(80－79)2]＝119， 标准差为s甲＝＝≈10.91. 乙组：最高分为95，最低分为65，极差为95－65＝30， 平均数为乙＝×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5， 方差为s＝×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋…＋(85－81.5)2]＝75.25， 标准差为s乙＝＝≈8.67. (2)由(1)知乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定，乙组的平均分高于甲组，故乙组的成绩较好．从(1)中得到的极差也可看出乙组的成绩比较稳定． 标准差、方差的意义 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差． (2)标准差、方差的取值范围为[0，＋∞)． 标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性．　　 [对点训练] 从甲、乙两种玉米苗中各抽取10株，分别测得