11.3 余弦定理、正弦定理的应用 （Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

11．3　余弦定理、正弦定理的应用 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.认识实际测量中的有关名称和术语． 2.会用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题． 重点 难点 重点：能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题． 难点：能将实际问题转化为解三角形问题. 1．基线的概念与选择原则 (1)定义 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线． (2)性质 在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 2．测量中的有关概念 (1)方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的角．如图所示的θ1，θ2即表示点A和点B的方位角．故方位角的范围是0°≤θ＜360°. (2)方向角：指以观测者为中心，正北或正南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，它是方位角的另一种表示形式．如图，图1中表示北偏东30°，图2中表示南偏西60°. (3)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角；目标视线在水平视线下方时叫做俯角．如图所示． (4)视角：观测者的两条视线之间的夹角叫做视角． 1．小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β，则小强观测山顶的仰角为(　　) A．α＋β　　　　 　 B．α－β C．β－α D．α 答案：C 2.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　) A．a km B.a km C.a km D．2a km 解析：选B　在△ABC中，∠ACB＝180°－(20°＋40°)＝120°，∵AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°＝a2＋a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a(km)，故选B. 3．甲骑电动车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是________km. 解析：由题意知，AB＝24×＝6(km)，∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°. 由正弦定理，得BS＝＝＝3(km)． 答案：3 ———————————————————————————————— 测量距离问题 ———————————————————————————————————— [典例]　要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之间的距离． [解]　如图所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°， ∴AC＝CD＝ km. 在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°. ∴BC＝＝. 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝()2＋2－2×××cos 75°＝3＋2＋－＝5，∴AB＝(km)，∴A，B之间的距离为 km. 三角形中与距离有关的问题的求解策略 (1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解． (2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．　　 [对点训练] A，B两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C，测得CA＝7 km，CB＝5 km，C＝60°，则A，B两点之间的距离为________km. 　 解析：由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C＝72＋52－2×7×5×＝39. ∴AB＝. 答案： ————————————————————————————————— 测量高度问题 ————————————————————————————————————— [典例]　某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度，如图，在C处进行该仪器的弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s．A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得该仪器在最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340 m/s) [解]　设AC＝x m，则BC＝x－×340＝(x－40)m. 在△ABC中，根据余弦定理得(x－40)2＝10