11.2 第2课时 正弦定理的应用 （Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

第2课时　正弦定理的应用 三角形的面积公式 (1)S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． (2)S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长． (3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长． 三角形的面积公式S＝absin C与原来的面积公式S＝a·h(h为a边上的高)的关系为：h＝bsin C，实质上bsin C就是△ABC中a边上的高． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)公式S＝absin C适合求任意三角形的面积．(　　) (2)三角形中已知三边无法求其面积．(　　) (3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则S△ABC＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D．3 解析：选B　S△ABC＝absin C＝×2×3×＝. 3．已知A，B两岛相距10 n mile，从A岛看B，C两岛的视角是60°，从B岛看A，C两岛的视角是75°，则B，C两岛的距离为________ n mile. 解析：如图所示，易知C＝45°， 由正弦定理得＝， ∴BC＝＝5. 答案：5 4．若△ABC的面积为，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________． 解析：因为S△ABC＝，BC＝2，C＝60°，所以＝×2×AC×，解得AC＝2，所以△ABC为正三角形，所以AB＝2. 答案：2 ————————————————————————————————— 正弦定理的实际应用 —————————————————————————————————————— [典例]　如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB. [解]　在△BCD中，∠BCD＝α，∠BDC＝β， ∴∠CBD＝180°－(α＋β)， ∴＝， 即＝. ∴BC＝·s. 在△ABC中，由于∠ABC＝90°， ∴＝tan θ. ∴AB＝BC·tan θ＝·s. 解决正弦定理的实际应用问题的关键是根据题意将已知量置于可解的三角形中，通过正弦定理与其他知识解三角形后，根据实际问题得出结论．　　 [对点训练] 如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E.从点D测得∠ADC＝67.5°，从点C测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°.若测得DC＝2，CE＝，则A，B两点间的距离为________． 解析：根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，则∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2.在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝，则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝，可得BC＝＝＝.在△ABC中，AC＝2，BC＝，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝12＋3－2×2××＝9，故AB＝3. 答案：3 ————————————————————————————————— 利用正弦定理判断三角形形状 —————————————————————————————————————— [典例]　在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，则△ABC的形状是(　　) A．锐角三角形　　　 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 [解析]　由正弦定理，得sin2Atan B＝sin2Btan A， 则＝. ∵sin Asin B≠0，∴＝， ∴sin 2A＝sin 2B，∴2A＝2B或2A＝π－2B， ∴A＝B或A＋B＝，故△ABC为等腰三角形或直角三角形． [答案]　D 通过边角转化判断三角形形状的方法 (1)化边为角．利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状； (2)化角为边．利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状．　　 [对点训练] 　在△ABC中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab且2cos Asin B＝sin C，则△ABC是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 解析：选D　由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab可得a2＋b2－c2＝ab， ∴cos C＝＝. 又0°<C<180°，∴