11.1 第2课时 余弦定理的应用 （Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

第2课时　余弦定理的应用 —————————————————————————————————— 余弦定理的实际应用 ————————————————————————————————————— [典例]　一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为6海里，则灯塔与轮船原来的距离为(　　) A．6海里　　　　　　　　　 B．12海里 C．6海里或12海里 D．6 海里 [解析]　如图，设轮船原来在A处，航行20分钟后到达B处，C为灯塔的位置，根据条件可得∠BAC＝120°，AB＝18×＝6(海里)，BC＝6 海里， 由余弦定理可得cos 120°＝＝＝－， 解得AC＝6(AC＝－12舍去)． 故灯塔与轮船原来的距离为6海里． 故选A. [答案]　A 余弦定理在解决实际问题中的策略 首先分析此题属于哪种类型的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．　　 [对点训练] 如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200 m，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，则塔高AB＝________m. 解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝45°， 若设AB＝h，则BC＝h； 在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝ h. 在△BCD中，由余弦定理可得， CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD， 即2002＝h2＋(h)2－2h·h·， 所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)， 即塔高AB＝200 m. 答案：200 ————————————————————————————————— 判断三角形的形状 —————————————————————————————————————— [典例]　在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2＝，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 [解析]　法一：由cos2＝＝，得ccos A＝b，即有c·＝b，化简得c2＝a2＋b2，∴△ABC为直角三角形． 法二：∵cos2＝，∴由余弦定理得cos2＝＝＝，整理得b2＋a2＝c2，∴△ABC为直角三角形． [答案]　B [方法技巧]　判断三角形形状的基本思想和两条思路 基本 思想 判断三角形的形状，要从“统一”入手，体现转化思想 两条 思路 化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式 化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式 [对点训练] 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状. 解：将已知等式变形为 b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos Bcos C. 由余弦定理并整理，得 b2＋c2－b22－c22 ＝2bc××， ∴b2＋c2＝＝＝a2. ∴A＝90°.∴△ABC是直角三角形． ————————————————————————————————— 余弦定理与平面图形结合 —————————————————————————————————————— [典例]　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为边BC上的中线． (1)若a＝4，b＝2，AD＝1，求边c的长； (2)若·＝c2，求角B的大小． [解]　(1)在△ADC中，AD＝1，AC＝2，DC＝BC＝2，由余弦定理， 得cos C＝＝＝. 故在△ABC中，由余弦定理， 得c2＝a2＋b2－2abcos C＝42＋22－2×4×2×＝6， 所以c＝. (2)因为AD为边BC上的中线， 所以＝(＋)， 所以c2＝·＝·(＋)＝2＋·＝c2＋cbcos A， 可得c＝bcos A. 则c＝b·，化简得b2＝c2＋a2，所以B＝90°. 解三角形广泛应用于解各种平面图形，解题时可将问题纳入三角形中去解决，理清已知条件与待求问题，再根据余弦定理建立未知量与已知量的关系式来求．　　 [对点训练] 　在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M为BC的中点，且AM＝4，求BC的长． 解：如图，设BC的长为x，则由M为BC的中点，可得BM＝MC＝. 在△AMB中，cos∠AMB＝ ＝， 在△AMC中， cos∠AMC＝＝， ∵∠AMB＋∠AMC＝180°， ∴cos∠AMB＝cos(180°－∠AMC)＝－cos∠AMC， ∴＝－， 解得x＝(