11.1 第1课时 余弦定理 （Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

　 11．1　余弦定理 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解余弦定理的推导过程． 2.掌握余弦定理及其变形，并能利用余弦定理解决相关问题． 重点 难点 重点：掌握余弦定理及其变式． 难点：掌握余弦定理的综合应用. 第1课时　余弦定理 1．余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 语言 叙述 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式 表达 a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C 变式 cos A＝，cos B＝， cos C＝ 2．解三角形 我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形． 1．余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 2．余弦定理的另外一种常见变式 2bccos A＝b2＋c2－a2， 2accos B＝a2＋c2－b2， 2abcos C＝a2＋b2－c2. 3．余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2＞a2＋b2⇔C为钝角；c2＜a2＋b2⇔C为锐角． 1．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c等于(　　) A.　　　　　　 B．8 C．10 D．7 解析：选D　由余弦定理得， c＝＝＝7. 2．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于(　　) A．60° B．45° C．120° D．30° 解析：选C　由cos A＝＝－，且0°<A<180°，得A＝120°. 3. 在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________. 解析：∵a2－c2＋b2＝ab，∴c2＝a2＋b2－ab.又∵c2＝a2＋b2－2abcos C，∴2cos C＝1.∴cos C＝. 答案： 4．已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素是否唯一确定？ 提示：由余弦定理可知：不妨设a，b边和其夹角C已知，则c2＝a2＋b2－2abcos C，c唯一，cos B＝，因为0＜B＜π，所以B唯一，从而A也唯一．所以三角形其他元素唯一确定． —————————————————————————————————— 已知两边及一角解三角形 ————————————————————————————————————— [典例]　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a的值； (2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解这个三角形. [解]　(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A ＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°＝3， 所以a＝. (2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°， 即a2－9a＋18＝0， 解得a＝3或a＝6. 当a＝3时，A＝B＝30°，C＝120°； 当a＝6时，由余弦定理得cos A＝＝0， 又0°<A<180°， 所以A＝90°，C＝60°. 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．　　 [对点训练] 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c＝(　　) A．4　　　　　　　　 B. C．3 D. 解析：选D　cos C＝－ cos(A＋B)＝－.又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×＝17，所以c＝.故选D. 2．在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形. 解：根据余弦定理得， b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－2×2×(＋)×cos 45°＝8， ∴b＝2， 又∵cos A＝ ＝＝，0°<A<180°， ∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°. —————————————————————————————————— 已知三边解三角形 ————————————————————————————————————— [典例]　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C的大小． [解]　根据余弦定理，得cos A＝ ＝＝， ∵A∈(0，π)，∴A＝. cos C＝＝ ＝， ∵C∈(0，π)，∴C＝. ∴B＝π－A－C＝π－－＝， ∴A＝，B＝，C＝. 已知三角形