10.1.3 两角和与差的正切 （Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

10．1.3　两角和与差的正切 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式． 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明． 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用． 重点 难点 重点：两角和与差的正切公式及应用． 难点：利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和的 正切公式 tan(α＋β)＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的 正切公式 tan(α－β) ＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) (1)在两角和与差的正切公式中，角α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z)，这是由正切函数的定义域决定的． (2)公式T(α－β)也可以这样推导： 当cos(α－β)≠0时，tan(α－β)＝＝. 若cos αcos β≠0，则将上式的分子、分母都除以cos α·cos β，得tan(α－β)＝. (3)公式的结构特征及符号特征如下： ①公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和． ② 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”． 1．若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)等于(　　) A．－3　　　　　　　　　　　 B．3 C．－ D. 答案：D　 2．tan 195°等于(　　) A．－2－ B．－2＋ C．2－ D．2＋ 答案：C 3.等于(　　) A．－ B. C. D．－ 答案：C ————————————————————————————————— 化简求值 —————————————————————————————————————— [典例]　化简下列各式： (1)； (2)tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°； (3)tan θ＋tan＋tan θ·tan. [解]　(1)原式＝＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝. (2)原式＝tan(20°＋40°)＋tan 20°·tan 40° ＝－tan 20°·tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝. (3)原式＝tan1－tan θ·tan＋tan θ·tan ＝1－tan θ·tan＋tan θ·tan＝1. 利用公式T(α±β)化简求值的两点说明 (1)分析式子结构，正确选用公式形式： T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．　　 (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用： 当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换． [对点训练] 　求值： (1)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°； (2). 　解：(1)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50° ＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＋tan 10°tan 50° ＝－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝. (2)＝＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1. ————————————————————————————————— 给值求值(角) —————————————————————————————————————— [典例]　已知tan α＝2，tan β＝－，其中0<α<，<β<π. (1)求tan(α－β)； (2)求α＋β的值． [解]　(1)把tan α＝2，tan β＝－代入tan(α－β)＝＝＝7. (2)把tan α＝2，tan β＝－代入tan(α＋β)＝＝＝1， 又0<α<，<β<π.所以<α＋β<，所以α＋β＝. [拓展] 　本例的条件不变，求tan(α＋2β)的值． 解：由(2)可知，tan(α＋β)＝1， 则tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝＝. (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解． (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．　　 [对点训练] 　已知sin＝，α∈，则tan＝(　　) A.　　　　　　　　 B．－ C．7 D．－7 解析：选B　因为sin＝，所以cos α＝， 又α∈，所以sin α＝－， 所以tan α＝＝－， 所以tan＝＝＝－. —————————————————————————————————— 两角和与差正切公式的综合应用 —————————————