10.1.1 两角和与差的余弦 （Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

　 10．1.1　两角和与差的余弦 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义． 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，了解它们的内在联系． 重点 难点 重点：能利用两角和与差的余弦公式进行求值、计算． 难点：理解用向量的数量积推导出两角和与差的余弦公式的过程及两角和与差的余弦公式的意义. 两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的 余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β α，β∈R 两角差的 余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β α，β∈R 两角和与差的余弦公式的结构特征 (1) (2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合． (3)cos(α－β)＝cos α－cos β一般不成立，但在特殊情况下也可能成立，例如：当α＝0°，β＝60°时，cos(0°－60°)＝cos 0°－cos 60°. (4)要掌握公式的逆用，如cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)·sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α. 1．cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°＝(　　) A．－　　　　　　　 B. C．－ D. 解析：选B　cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°＝cos(72°－12°)＝cos 60°＝. 2．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于(　　) A. B．－ C．0 D．1 解析：选C　原式＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0. 3．cos 105°等于________． 答案： 4．如图，在直角坐标系xOy中，单位圆O与x轴交于点P0，以Ox为始边分别作出角α，β，α－β，它们的终边分别和单位圆交于点P1，P2，P3.由||＝||，你能推导出两角差的余弦公式吗？ 解：能．该问题实际上给出了用距离公式推导C(α－β)的方法．推导过程如下： 易知P0(1,0)，P1(cos α，sin α)，P2(cos β，sin β)， P3(cos(α－β)，sin(α－β))， 则＝(cos(α－β)－1，sin(α－β))， ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)． 因为||＝||，所以||2＝||2， 所以[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2， 化简得cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. ———————————————————————————————— 给角求值问题 ———————————————————————————————————— [典例]　求下列各式的值． (1)cos 75°； (2)cos 63°sin 57°＋sin 117°sin 33°； (3)sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°； (4)cos 15°＋sin 15°. [解]　(1)cos 75°＝cos(120°－45°)＝cos 120°cos 45°＋sin 120°sin 45°＝－×＋×＝. (2)原式＝cos 63°cos 33°＋sin 63°sin 33°＝cos(63°－33°)＝cos 30°＝. (3)原式＝sin(270°－25°)sin(90°＋35°)＋sin(180°－25°)sin 35° ＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35° ＝－cos(25°＋35°)＝－cos 60°＝－. (4)原式＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝. 解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变形用公式．　　 [对点训练] 1．若a＝(cos 100°，sin 100°)，b＝(cos 10°，sin 10°)，则a·b＝(　　) A．cos 110°　　　　　　　 B．sin 110° C．1 D．0 解析：选D　a·b＝cos 100°cos 10°＋sin 100°sin 10°＝cos(100°－10°)＝cos 90°＝0. 2．求值：(1)coscos＋cossin＝________. (2)sin 15°sin 45°－co