9.3.3 向量平行的坐标表示 （Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

9．3.3　向量平行的坐标表示 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解用坐标表示向量平行的条件． 2．能应用向量的平行条件解决问题． 重点 难点 重点：能用向量平行条件解决问题． 难点：理解用坐标表示向量平行的条件. 向量平行的坐标表示 一般地，设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 特别地，当a∥b且x2y2≠0时，有＝，即两个向量的相应坐标成比例． 1．两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)平行的条件x1y2－x2y1＝0容易写错，该条件的正确记法为“交叉相乘，差为0”． 2．当两个非零的共线向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个非零的共线向量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如，向量(1,2)与向量同向，向量(1,2)与(－1，－2)反向，向量(1,0)与(3,0)同向，向量(－1,0)与(3,0)反向． 1．已知a＝(1，－2)，b＝(2,1)，满足与a＋b平行的一个向量是(　　) A．(2，－4) B．(4,2) C．(－1，－3) D．(6，－2) 答案：D 2．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 答案：D 3．判断下列向量是否平行： (1)a＝(1,3)，b＝(2,4)； (2)a＝(1,2)，b＝. 解：(1)a与b不平行． (2)a与b平行． ————————————————————————————————— 向量平行的判定 —————————————————————————————————————— [典例]　已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)，判断与是否平行？如果平行，它们的方向是相同还是相反？ [解]　＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)． ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴与平行，通过观察可知，和方向相反． 向量平行的判定方法 (1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b. (2)利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．　　 [对点训练] 　(多选)下列各组向量中，可以表示它们所在平面内所有向量的基底的是(　　) A．a＝(－1,2)，b＝(3,5) B．a＝(1,2)，b＝(2,1) C．a＝(2，－1)，b＝(3,4) D．a＝(－2,1)，b＝(4，－2) 解析：选ABC　要满足题意，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a与b不平行，即x1y2－x2y1≠0. 对于A,2×3＋1×5≠0，所以A不平行； 对于B，2×2－1×1≠0，所以B不平行； 对于C，－1×3－2×4≠0，所以C不平行； 对于D,1×4－(－2)×(－2)＝0，所以D平行．故选A、B、C. —————————————————————————————————— 利用向量平行的坐标表示求参数 ————————————————————————————————————— [典例]　(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则实数m的值为(　　) A．1　　 B．－1　　　 C．－4　　　D．4 (2)已知向量a＝(2，m)，b＝(m－1,6)． ①若a∥b，求实数m的值； ②若|a＋b|＝|a－b|，求实数m的值． [解析]　(1)∵a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b， ∴1×m＝2×(－2)，解得m＝－4. 答案：C (2)①因为a∥b，所以2×6－m(m－1)＝0，解得m＝－3或m＝4. ②将|a＋b|＝|a－b|两边同时平方得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2， 所以a·b＝0， 即2(m－1)＋6m＝0， 解得m＝. 借助两向量共线或三点共线求解某参数值是向量运算的重要应用之一．具体做法是先借助a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))，列出关于某参数的方程(组)，然后解答即可．　　 [对点训练] 1．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是(　　) A．k＝－2 B．k＝ C．k＝1 D．k＝－1 解析：选C　因为A，B，C三点不能构成三角形，所以A，B，C三点共线，即∥.又＝－＝(1,2)，＝－＝(k，k＋1)，所以2k－(k＋1)＝0，解得k＝1. 2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,1)，k，t为正实数，x＝a＋(t2＋1)b，y＝－a＋b，问是否存在实数k，t，使x∥y？若存在，求出k的取值范围；若不存在，