9.3.2 第2课时 向量数量积的坐标表示 （Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

第2课时　向量数量积的坐标表示 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算． 2.能利用坐标求向量的模、夹角及两个向量垂直的条件，并能应用它们解决相关问题． 重点 难点 重点：掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算． 难点：运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题. 1．向量数量积的坐标表示 若两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 2．向量的模 (1)向量模的公式：设a＝(x，y)，则|a|＝. (2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝ 3．向量的夹角公式 设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角为θ，则cos θ＝＝ 4．两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (1)公式a·b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，两者可以相互推导． 在求两向量的数量积时，若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解． (2)向量的模的坐标运算的实质 向量的模即向量的长度，其大小为平面直角坐标系中两点间的距离，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，所以||＝，即||为A，B两点间的距离．由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算． (3)与向量a同向的单位向量的坐标表示 因为与向量a同向的单位向量a0＝，若a＝(x，y)，则|a|＝，所以a0＝＝(x，y)＝，此式为与向量a＝(x，y)同向的单位向量的坐标表示． 1．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，则a·b＝(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：选A　a·b＝(1,1)·(－1,2)＝1×(－1)＋1×2＝1. 2．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 解析：选B　a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a|＝＝，|b|＝＝，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.又0≤θ≤π，∴θ＝. 3．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，m)，若a⊥b，则m＝________. 解析：因为a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0，解得m＝. 答案： ————————————————————————————————— 向量数量积的坐标运算 —————————————————————————————————————— [典例]　(1)设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(　　) A．12　　　　　　　 B．0 C．－3 D．－11 (2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝________. [解析]　(1)∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，∴a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3. (2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,2)，E(2,1)，D(2,2)，B(0,0)，C(2,0)， 因为＝2，所以F. 所以＝(2,1)，＝－(2,0)＝， 所以·＝(2,1)· ＝2×＋1×2＝. [答案]　(1)C　(2) 数量积坐标运算的技巧 (1)进行向量的数量积运算时，通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算． (2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．　　 [对点训练] 1．已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：选C　由题意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4. 2．(2019·全国卷Ⅱ)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析：选C　∵＝－＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，||＝1，∴ ＝1，解得t＝3， ∴＝(1,0)，∴·＝2×1＋3×0＝2. —————————————————————————————————— 向量模的问题 ————————————