专题13 运用空间向量研究立体几何问题-2023年高考数学二轮优化提升专题训练（新高考地区专用）

专题13 运用空间向量研究立体几何问题 1、【2022年全国甲卷】在四棱锥中，底面． (1)证明：； (2)求PD与平面所成的角的正弦值． 2、【2022年全国乙卷】如图，四面体中，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 3、【2022年新高考1卷】如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 4、【2022年新高考2卷】如图，是三棱锥的高，，，E是的中点． (1)证明：平面； (2)若，，，求二面角的正弦值． 5、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 6、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 7、（2019浙江19）如图，已知三棱柱，平面平面，，分别是AC，A1B1的中点． （1）证明：； （2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值． 8、（2020全国Ⅰ理18）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 9、（2020全国Ⅲ理19）如图，在长方体中，点分别在棱上，且． （1）证明：点在平面内； （2）证明：若时，求二面角的正弦值． 题组一、线面角 1-1、（2022·山东泰安·高三期末）如图1，在等腰直角中，分别为的中点，将沿直线翻折，得到如图2所示的四棱锥，若二面角的大小为，为中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 1-2、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，是上一点. （1）求证:平面平面； （2）若是的中点，且二面角的余弦值是，求直线与平面所成角的正弦值. 1-3、（2022·湖南郴州·高三期末）如图，在空间几何体中，已知均为边长为2的等边三角形，平面和平面都与平面垂直，为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 题组二、面面角 2-1、（2022·河北张家口·高三期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，、、、分别为、、、的中点. （1）证明：平面； （2）若平面平面，为等边三角形，求二面角的正弦值. 2-2、（2022·河北唐山·高三期末）四棱锥的底面是矩形，，侧面底面OBCD． （1）求证：底面OBCD； （2）若，二面角的大小为120°，求四棱锥的体积． 2-3、（2022·河北保定·高三期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面底面，且. （1）证明：. （2）若，求二面角的余弦值. 题组三、探索性问题 3-1、（2022·河北深州市中学高三期末）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，，. （1）证明：平面平面； （2），分别是，的中点，是线段上的动点，若二面角的平面角的大小为，试确定点的位置. 3-2、（2022·山东枣庄·高三期末）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，Q为的中点，是边长为2的正三角形，． （1）求证：平面底面； （2）棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 3-3、（2022·山东济南·高三期末）如图，在正四棱柱中，，，分别为棱，的中点，为棱上的动点. （1）求证：，，，四点共面； （2）是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由. 3-4、（2022·湖南娄底·高三期末）如图，在长方体中，，．若平面APSB与棱，分别交于点P，S，且，Q，R分别为棱，BC上的点，且． （1）求证：平面平面； （2）设平面APSB与平面所成锐二面角为，探究：是否成立？请说明理由． 1、（2022·湖南常德·高三期末）如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线． （1）求证：OA⊥PB； （2）若C底面圆上一点，且，，，，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值． 2、（2022·山东莱西·高三期末）在如图所示的三棱柱中，侧面为菱形，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面ABC的夹角的余弦值. 3、（2022·山东淄博·高三期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，E为PC的中点，点F在PD上且． （1）求证：平面AEF； （2）求二面角的余弦值． 4、（2022·湖北武昌·高三期末）如图，一张边长为4的正方形纸片ABCD，E，F分别是AD，BC的中点，将正方形纸片沿EF对折后竖立在水平的桌面上． （1）求证：； （2）若二面角的平面角为45°，K是线段CF（含端点）