第7章 复数 章末小结与质量评价（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 (二)把握数学思想和方法 1．在研究复数模的最值问题时，需要转化为关于复数z＝x＋yi(x，y∈R)的实部x和虚部y的二次函数讨论，这体现了函数与方程的思想． 2．在求与复数相关的最值时，常常根据复数的几何意义画出图形，能够使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”寻找解题方法，使问题获得解决，这体现了数形结合思想． 3．在复数问题中，利用复数的代数形式，将复数问题转化为实数问题来解决，利用复数的相关性质如“z·＝a2＋b2⇒z·是实数” 和“＝z”的应用充分体现了转化与化归思想． 二、把握重点·常考题型集训 题型一　复数的概念　 1．复数＋的虚部是(　 ) A.i　　　　　　　 B. C．－i D．－ 解析：选B　＋＝＋＝＋＝－＋i，故虚部为. 2．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为(　 ) A．1 B．2 C．1或2 D．－1 解析：选B　由纯虚数的定义，可得 解得a＝2. 3．(2022·全国乙卷)设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则(　 ) A．a＝1，b＝－1 B．a＝1，b＝1 C．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1 解析：选A　由题意知a＋b＋2ai＝2i， 所以解得故选A. 4．已知z1＝m2－3m＋m2 i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中 m 为实数， i 为虚数单位，若z1－z2＝0，则m的值为________． 解析：由题意可得z1＝z2， 即m2－3m＋m2 i＝4＋(5m＋6)i， 根据两个复数相等的充要条件可得 解得m＝－1. 答案：－1 处理复数概念问题的两个注意点 (1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部． (2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根．　　 题型二　复数的四则运算　 1．(2022·全国甲卷)若z＝1＋i，则|iz＋3|＝(　 ) A．4 B．4 C．2 D．2 解析：选D　因为z＝1＋i，所以iz＋3＝i(1＋i)＋3(1－i)＝－1＋i＋3－3i＝2－2i，所以|iz＋3|＝|2－2i|＝＝2.故选D. 2．(2022·北京高考)若复数z满足i·z＝3－4i，则|z|＝(　 ) A．1 B．5 C．7 D．25 解析：选B　依题意可得z＝＝＝－4－3i，所以|z|＝＝5，故选B. 3．复数z满足z(＋1)＝1＋i，其中i是虚数单位，则z等于(　 ) A．1＋i或－2＋i B．i或1＋i C．i或－1＋i D．－1－i或－2＋i 解析：选C　设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z(＋1)＝1＋i，得a2＋b2＋a＋bi＝1＋i，所以b＝1，a2＋a＋1＝1，所以a＝0或a＝－1.故z＝i或z＝－1＋i. 4．已知z＝－，则z100＋z50＋1的值为(　 ) A．i B．－i C．1＋i D．1－i 解析：选B　因为(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i， 所以z100＋z50＋1＝100＋50＋1 ＝100(1－i)100＋50(1－i)50＋1 ＝(－2i)50＋(－2i)25＋1 ＝i50－i25＋1＝i2－i＋1＝－i. 5．(2020·江苏高考)已知i是虚数单位，则复数z＝(1＋i)(2－i)的实部是________． 解析：因为z＝(1＋i)(2－i)＝3＋i， 所以复数z的实部是3. 答案：3 进行复数代数运算的策略 (1)复数代数形式运算的基本思路就是应用运算法则进行计算． ①复数的加、减运算类似于实数中的多项式的加、减运算(合并同类项)． ②复数的乘、除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘分母的共轭复数)，此时要注意区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2与(a＋b)(a－b)＝a2－b2. (2)复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式． (3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化．　　 题型三　复数的几何意义　 1．已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i，则z＝在复平面内对应的点位于(　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选D　因为z1＝＋i，z2＝－＋i， 所以z＝＝＝ ＝－i，所以复数z在复平面内对应的点为，在第四象限，故选D. 2．已知i是虚数单位，复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是(　 ) A．(－∞，－1) B．(－1,2) C．