专题17.9 勾股定理全章复习与巩固（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题 17.9 勾股定理全章复习与巩固（知识讲解） 【学习目标】 1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法； 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容； 3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题； 【要点梳理】 要点一、勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段. 要点二、勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立. （例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 【典型例题】 类型一、勾股定理✭✭勾股定理逆定理➽➼求值✭✭证明 1．在中，，，，是斜边上高． （1）求的面积； （2）求斜边； （3）求高． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据直角三角形两直角边乘积的一半为三角形的面积进行求解即可； （2）根据勾股定理求解即可； （3）根据等积法求出高即可． （1）解：∵在中，，，， ∴； （2） 解：根据勾股定理可得： ； （3）解：∵， ∴． 【点拨】本题主要考查了勾股定理，直角三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理及三角形面积的计算公式． 举一反三： 【变式1】如图，等边三角形的边长为4，为边上的中线，且，求的长． 【答案】 【分析】过A作于点F，根据等边三角形的性质可得，再根据勾股定理可得的长，根据含角的直角三角形的性质可得的长，进一步可得的长，再根据勾股定理可得的长． 解：过A作于点F，如图所示： ∵是等边三角形， ∴F为边上的中点， ∵等边三角形的边长为4， ∴， 在中，根据勾股定理， 得， ∵是边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理， 得． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【变式2】如图，在中，，，． (1) 求的长； (2) 点P从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接．设点P运动的时间为t秒，当t为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1) ； (2) 当或或时，为等腰三角形． 【分析】（1）由勾股定理可得； （2）依题意得，分三种情况求解：当时，；当时，，，则；当时，过点C作，垂直为D，在中，，求出，在中，，求出，则． （1）解：∵，，， 由勾股定理可得； （2）依题意得， 当时，， 当时，， ∴， ， ∴；       当时，过点C作，垂直为D， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 当或或时，为等腰三角形． 【点拨】本题考查等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和判定方法，分类讨论动点的运动情况是解题的关键． 2．如图，在中，内角所对的边分别为． （1）若，请直接写出与的和与的大小关系； （2）求证：的内角和等于； （3）若，求证：是直角三角形． 【答案】（1）；（2）证明见分析；（3）证明见分析 【分析】（1）根据三角形中大角对大边，即可得到结论； （2）画出图形，写出已知，求证；过点A作直线MN∥BC，根据平行线性质得出∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，代入∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°即可求出答案； （3）化简等式即可得到a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理即可得到结论 解：在中