2.6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

6．2　平面向量在几何、物理中的应用举例 明学习目标 知结构体系 课标要求 用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题． 重点难点 重点：掌握用向量法解决平面几何问题的方法，以及用向量知识研究物理问题的一般思路与方法． 难点：培养向量运算能力、推理论证能力，以及探究意识和应用意识的培养. ———————————————————————————————————— 向量在平面几何证明中的应用 ———————————————————————————————————————— [典例]　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点．求证：AF⊥DE. [证明]　法一：设＝a，＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0. 又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a，所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)． 因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. 平面几何中利用向量证明的常见问题及方法 (1)常见的利用向量证明的问题 ①利用共线向量定理证明线段平行或点共线； ②利用向量的模证明线段相等； ③利用向量的数量积为0证明线段垂直． (2)常用的两个方法 ①基向量法：选取已知的不共线的两个向量作为基向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明． ②坐标法：先建立直角坐标系，表示出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明. 　　 [对点训练] 如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于G，DH⊥CF于H.求证：HG∥EF. 　 证明：∵⊥，⊥，∴∥. 设＝λ (λ≠0)，则＝λ.同理＝λ. 于是＝－＝λ(－)＝λ， ∴∥，即HG∥EF. ———————————————————————————————————— 利用平面向量求几何中的长度问题 ———————————————————————————————————————— [典例]　如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 　 [解]　设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b. ∵||＝|a－b|＝ ＝ ＝＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝. 又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6， ∴||＝，即AC＝. 利用向量法解决长度问题的策略 向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解．一是利用图形特点选择基，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解．若a＝(x，y)，则|a|＝.　　 [对点训练] 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n. (1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB； (2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)． 解：(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，m)，B(n,0)． ∵D为AB的中点，∴D， ∴||＝ ， ∵||＝， ∴||＝||，即CD＝AB. (2)∵E为CD的中点，∴E. 设F(x,0)，则＝，＝(x，－m)． ∵A，E，F三点共线， ∴＝λ. 即(x，－m)＝λ，则 解得λ＝，x＝，∴F， ∴||＝ ，即AF＝ . ———————————————————————————————————— 平面向量在物理中的应用 ———————————————————————————————————————— [典例]　(1)一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5)．在这个过程中三个力的合力所做的功等于________． (2)设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为π，如图所示． ①求F3的大小； ②求F2与F3的夹角． [解析]　(1)因为F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)， F3＝(3,1)，所以合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8)， ＝(－1,4)， 则F·＝8×(－1)－8×4＝－40， 即三个力的合力所做的功为－40. [答案]　－40　 (2)①由题意|F3|＝|F1＋F2|， 因为|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为π， 所以|F3|＝|F1＋F2|＝＝. ②设F2与F3的夹角为θ， 因为F1＝－(F2＋F3)，两边平方得 1＝4＋3＋2×2×cos θ， 所以cos θ＝－， 所以θ