2.6.1 第3课时 正、余弦定理的实际应用（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

第三课时　正、余弦定理的实际应用 ———————————————————————————————————— 测量距离问题 ———————————————————————————————————————— 　　[典例]　如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内．在A点测得M，N的俯角分别为α1＝75°，β1＝30°，在B点测得M，N的俯角分别为α2＝45°，β2＝60°，同时测得AB＝2 km. (1)求AM的长度； (2)求M，N之间的距离． [解]　(1)在△ABM中，已知∠MAB＝75°，∠MBA＝45°，则∠AMB＝60°， 由正弦定理得＝， 所以AM＝＝＝2. (2)因为α2＝45°，β2＝60°， 所以∠MBN＝75°，∠ABN＝120°，则∠ANB＝30°， 所以AB＝BN＝2，AN＝2ABcos 30°＝6， 在△AMN中，由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN·cos 45°＝8＋36－24＝20， 解得MN＝2. 三角形中与距离有关的问题的求解策略 (1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解． (2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．　　 [对点训练] 1．A，B两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C，测得CA＝7 km，CB＝5 km，C＝60°，则A，B两点之间的距离为________km. 　 解析：由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C＝72＋52－2×7×5×＝39.所以AB＝. 答案： 2．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73) 　　 解析：过点A作AD垂直于CB的延长线，垂足为D(图略)，则在Rt△ABD中，∠ABD＝67°，AD＝46，则AB＝.在△ABC中，根据正弦定理得BC＝＝46×≈60(m)． 答案：60 ———————————————————————————————————— 测量高度问题 ———————————————————————————————————————— [典例]　(多选)某同学为测量教学楼的高度，先在地面选择一点C，测量出教学楼AB的仰角∠ACB＝α，再分别执行如下四种测量方案，则利用测量数据可表示出教学楼高度的方案有(　　) A．从点C向教学楼前进a米到达点D，测量出角∠ADB＝β B．在地面上另选点D，测量出角∠ACD＝β，∠ADC＝γ，CD＝a米 C．在地面上另选点D，测量出角∠BDC＝β，CD＝a米 D．从过点C的直线上(不过点B)另选点D，E，测量出CD＝2DE＝a米，∠ADB＝β，∠AEB＝γ [解析]　对于A，在△ACD中，∠CAD＝β－α，由正弦定理得AC＝＝， 在Rt△ABC中，AB＝ACsin∠ACB＝，A满足； 对于B，在△ACD中，∠CAD＝π－(β＋γ)，由正弦定理得 AC＝＝， 在Rt△ABC中，AB＝ACsin∠ACB＝，B满足； 对于C，在△ACD中，已知一边无法解三角形，在△BCD中，已知一边一角也无法解三角形，不能求出BC，AC，C不满足； 对于D，设AB＝h，则有BC＝，BD＝，BE＝，在△BCD与△BED中， 由余弦定理得： 即 因此，3BD2＋a2－BC2－2BE2＝0，即＋a2－－＝0，解此方程即得h，D满足． 故选A、B、D. [答案]　ABD 解决测量高度问题的一般步骤 (1)画图：根据已知条件画出示意图； (2)分析三角形：分析与问题有关的三角形； (3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用几何知识与方程思想．　　 [对点训练] 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度，如图，在C处进行该仪器的弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s．A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得该仪器在最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340 m/s) 解：设AC＝x m，则BC＝x－×340＝(x－40)m. 在△ABC中，根据余弦定理得(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解