2.6.1 第2课时 正弦定理（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

第二课时　正弦定理 1．正弦定理 (1)文字叙述：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． (2)符号表示：＝＝＝R. (3)正弦定理的推广 设R为△ABC外接圆的半径，则＝＝＝2R. 2．正弦定理的变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(边化角)． (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝(角化边)． (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C(边角互化)． (4)＝＝＝. (1)如已知两边a，b和a的对角A，解的情况如下表： (2)在△ABC中，sin A>sin B⇔a>b， (3)记牢15°，75°的正弦值： sin 15°＝，sin 75°＝. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理仅适用于非直角三角形．(　　) (2)在△ABC中，若c2＞a2＋b2，则△ABC为钝角三角形．(　　) (3)在△ABC中，若已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角的类型问题，则求解时都只有一个解．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．在△ABC中，A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于________． 解析：AC边上的高为ABsin A＝csin A＝2sin 45°＝. 答案： 3．在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝b，则A＝________. 解析：在△ABC中，利用正弦定理得2sin Asin B＝sin B，∵sin B≠0，∴sin A＝.又A为锐角，∴A＝. 答案： ———————————————————————————————————— 已知两角及任意一边解三角形 ———————————————————————————————————————— [典例]　(1)在△ABC中，若A＝，B＝，a＝2，则b＝(　　) A．2　 B．3　　C．2　 D．3 (2)在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b＝________. [解析]　(1)由正弦定理＝，得＝， 解得b＝3. (2)A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°. 由正弦定理＝，得b＝＝＝4. [答案]　(1)B　(2)4 已知任意两角和一边，解三角形的步骤 (1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角； (2)求边：根据正弦定理，求另外的两边．　　 [对点训练] 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝105°，C＝45°，c＝，则b＝(　　) A．1　　　　　　　　 B． C. D．2 解析：选A　在△ABC中，A＝105°，C＝45°， ∴B＝180°－A－C＝180°－105°－45°＝30°， 由正弦定理得＝，解得b＝1. 2．在△ABC中，若B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为(　　) A．5 B．4 C．5 D．4 解析：选C　根据题意得A＝180°－135°－15°＝30°，则此三角形的最大边是b，由正弦定理＝，得b＝＝＝5. 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，B＝2A，cos A＝，则b＝________. 解析：因为cos A＝，所以sin A＝， 因为B＝2A， 所以sin B＝sin 2A＝2sin Acos A＝， 又＝，所以b＝2. 答案：2 ———————————————————————————————————— 已知两边和其中一边的对角解三角形 ———————————————————————————————————————— [典例]　已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答． (1)a＝10，b＝20，A＝80°； (2)b＝5，c＝5，C＝60°； (3)a＝2，b＝6，A＝30°. [解]　(1)∵b＝20，A＝80°，∴bsin A＝20sin 80°＞20sin 60°＝10，又a＝10，∴a＜bsin A，∴此三角形无解． (2)∵b＝5，c＝5，∴b＜c，又C＝60°＜90°，∴此三角形有解．∵sin B＝＝＝，∴B＝30°，∴A＝180°－(B＋C)＝90°，∴a＝＝10. (3)∵a＝2，b＝6，A＝30°＜90°，∴bsin A＝6sin 30°＝3，∴bsin A＜a＜b，∴此三角形有两解．∵sin B＝＝＝，∴B＝60°或B＝120°.当B＝60°时，C＝90°，c＝＝＝4；当B＝120°时，C＝30°，∴c＝a＝2.∴B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2. 已知两边及其中一边的对角，解三角形的步骤 (1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角； (2)用三角形内角和定理求出第三个角； (3