2.5.2&2.5.3 向量数量积的坐标表示利用数量积计算长度和角度（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

5．2 & 5.3　向量数量积的坐标表示利用数量积计算长度和角度 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角． 2.掌握向量垂直条件的坐标形式，并能灵活运用． 3.会利用数量积计算长度与角度． 重点难点 重点：掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 难点：运用向量数量积的坐标表达式表示向量的模与夹角. 1．向量数量积的坐标表示 已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a·b＝x1x2＋y1y2. 2．向量长度的坐标表示 设a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝； 如果表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么|a|＝＝. 3．向量夹角的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0，b≠0)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝ . 4．向量垂直的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是(　　) A．23　　 B．7　　　C．－23　　 D．－7 解析：选D　a·b＝(－3,4)·(5,2)＝－3×5＋4×2＝－7. 2．已知＝(3，－4)，则||等于(　　) A．3　　　　　　　　 B．4 C. D．5 解析：选D　||＝＝5. 3．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为________． 解析：因为a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝＝5，|b|＝＝13，所以a与b夹角的余弦值为＝＝. 答案： 4．与a＝(3，－4)平行的单位向量的坐标有几个，是什么？ 提示：因为a的模为5，所以与a平行的单位向量是±a.所以与a平行的单位向量有2个，对应坐标为或. ———————————————————————————————————— 数量积的坐标运算 ———————————————————————————————————————— [典例]　(1)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,2)． ①求a·(a－b)； ②求(a＋b)·(2a－b)； ③若c＝(2,1)，求(a·b)·c，a·(b·c)． (2)△ABC为等腰直角三角形，OA＝1，OC为斜边AB上的高，P为线段OC的中点，求·. [解]　(1)①a·(a－b)＝a·a－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4. ②因为a＋b＝(－1,2)＋(3,2)＝(2,4)，2a－b＝2(－1,2)－(3,2)＝(－2,4)－(3,2)＝(－5,2)，所以(a＋b)·(2a－b)＝(2,4)·(－5,2)＝2×(－5)＋4×2＝－2. ③(a·b)·c＝[(－1,2)·(3,2)](2,1)＝(－1×3＋2×2)(2,1)＝(2,1)．a·(b·c)＝(－1,2)[(3,2)·(2,1)]＝(－1,2)(3×2＋2×1)＝8(－1,2)＝(－8,16)． (2)如图，分别以边CB，CA所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．根据条件知CA＝CB＝，∴A(0，)，B(，0)，O，P，∴＝，＝，∴·＝－＋＝. 数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算律和运算性质. 解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解．　　 [对点训练] 1．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(　　) A．12　　　　　　　　 B．0 C．－3 D．－11 解析：选C　∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，∴a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3. 2．已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：选C　由题意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4. 3．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E，F分别为BC，DC的中点，则·＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：选B　建立如图所示的平面直角坐标系，因为矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E，F分别为BC，DC的中点，所以A(0,0)，B(2，0)，E(2,2)，F(1,4)，则＝(2,2)，＝(－1,4)，所以·＝6. ————————————————————————