2.5.1 向量的数量积（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

5．1　向量的数量积 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 重点难点 重点：掌握数量积的运算性质，并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题． 难点：理解平面向量数量积的含义及其物理意义. (一)向量的数量积定义 1．定义 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，向量a与b的夹角∠AOB记为〈a，b〉或θ(0°≤θ≤180°)．|a||b|cos θ称为a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|cos θ. 2．规定 规定零向量与任一向量的数量积为_0_. 3．数量积与夹角的关系 当0°≤〈a，b〉<90°时，a·b>0；当〈a，b〉＝90°时，a·b＝0；当90°<〈a，b〉≤180°时，a·b<0；当〈a，b〉＝0°时，a·b＝|a||b|；当〈a，b〉＝180°时，a·b＝－|a||b|. 对数量积含义的理解 (1)向量的数量积a·b，不能表示为a×b或ab. (2)两个向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数． (3)两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个向量的夹角θ的余弦的乘积，由于|a|，|b|均为正数，故其符号由夹角来决定． 1．已知向量a和b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和b的数量积a·b＝________. 答案：3 2．已知a与b 共线，且|a|＝3，|b|＝4，试求a·b的值． 提示：a与b同向共线时，a·b＝3×4×cos 0°＝12.a与b反向共线时，a·b＝3×4×cos 180°＝－12. (二)投影 1．投影 如图，已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′，得到a在b上的投影γ＝，γ称为投影向量． |a|cos〈a，b〉称为投影向量γ的数量，也称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为a·. 2．数量积的几何意义 b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos θ的乘积(如图)；或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos θ的乘积． 对投影的三点诠释 (1)a·b等于|a|与b在a方向上的投影的乘积，也等于|b|与a在b方向上的投影的乘积．其中a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的． (2)b在a方向上的投影为|b|·cos θ(θ是a与b的夹角)，也可以写成. (3)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零． 1．已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a方向上的投影数量为________． 答案：1 2．若|a|＝4，a·b＝6，则b在a方向上的投影数量为________． 答案： (三)数量积的运算性质 1．平面向量数量积的运算律 对任意的向量a，b，c和实数λ. (1)交换律：a·b＝b·a； (2)与数乘的结合律：λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)； (3)关于加法的分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 2．平面向量的数量积的性质 (1)若e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉； (2)若a，b是非零向量，则a·b＝0⇔a⊥b； (3)a·a＝|a|2，即|a|＝； (4)cos〈a，b〉＝(|a||b|≠0)； (5)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立． (1)已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c. 但对于向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·c不能推出a＝c. (2)对于实数a，b，c有(ab)c＝a(bc)，但对于向量a，b，c，(a·b)·c＝a·(b·c)一般不成立. 这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)·c＝a·(b·c)一般不成立． 1．设a，b，c是任意的非零向量，且互不共线，给出以下结论： ①(a·b)c－(c·a)b＝0； ②(b·c)a－(c·a)b不与c垂直； ③(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2. 其中正确的是________(填序号)． 答案：③ 2．在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0；而在向量数量积的运算中，能由a·b＝0推出a＝0或b＝0吗？ 提示：不能．当a·b＝0时，a＝0或b＝0或a≠0，b≠0，但a⊥b. ———————————————————————————————————— 平面向量的数量积 ————————————————————————