2.4.2 平面向量及运算的坐标表示（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

4．2　平面向量及运算的坐标表示 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示． 2.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算． 3.能用坐标表示平面向量的共线条件． 重点难点 重点：用坐标表示向量的加、减与数乘运算，能用坐标表示平面向量共线的条件及应用． 难点：将向量的几何运算与代数运算灵活结合起来解决一些平面向量计算问题. (一)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基．对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a(通常称为位置向量)．由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使＝x i＋yj.因此，a＝x i＋yj.我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为a＝(x，y)． (1)由平面向量的坐标表示的定义可知，在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系．因此在直角坐标系中，点或向量都可以看作有序实数对的直观形象． (2)只有当a＝x i＋yj，i，j分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量时，才能说向量a的坐标为(x，y)． (3)几个特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0(0,0)． (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b等价于它们对应的横、纵坐标分别相等，即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若O为坐标原点，且＝(2，－1)，则点A的坐标为(2，－1)．(　　) (2)若点A的坐标为(2，－1)，则以A为终点的向量的坐标为(2，－1)．(　　) (3)平面内的一个向量a，其坐标是唯一的．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．已知＝(2,3)，则点N位于(　　) A．第一象限　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．不确定 解析：选D　因为点M的位置不确定，所以点N的位置也不确定．故选D. 3.如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________. 解析：将各向量分别向基i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0j，∴a＝(－4,0)．b＝0i＋6j，∴b＝(0,6)．c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)． 答案：(－4,0)　(0,6)　(－2，－5) (二)平面向量运算的坐标表示 1．平面向量运算的坐标表示 文字 符号 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘向量 实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy) 重要结论 一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标 已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) 2．中点坐标公式 平面直角坐标系内两点之间的向量公式与中点坐标公式： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，则＝(x2－x1，y2－y1)； 设线段AB中点为M(x，y)，则 1．已知M(2,3)，N(3,1)，则的坐标是(　　) A．(2，－1) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(1，－2) 解析：选B　＝(2,3)－(3,1)＝(2－3,3－1)＝(－1,2)． 2．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则a－b＝(　　) A．(3,7) B．(3,9) C．(3,3) D．(3,5) 解析：选C　因为a＝(2,4)，b＝(－1,1)，所以a－b＝(2－(－1)，4－1)＝(3,3)．故选C. 3.已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是(　　) A. B． C．(－8,1) D．(8,1) 解析：选C　＝－＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8,1)． (三)平面向量平行的坐标表示 设a，b是非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (1)当a∥b时，有x1y2－x2y1＝0； (2)当a∥b且b不平行于坐标轴，即x2≠0，y2≠0时，有＝，即若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行． 向量平行的坐标表示的依据 向量平行的坐标表示是根据共线向量基本定理推出的，当向量b＝(x2，y2)的坐标满足x2y2≠0时，才有＝成立．对于任意两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，有a∥b⇔x1y2＝