2.4.1 平面向量基本定理（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

4．1　平面向量基本定理 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.理解平面向量基本定理及其意义． 2.能推导平面向量基本定理和运用平面向量基本定理解决某些数学问题． 重点难点 重点：能应用平面向量基本定理解决一些实际问题． 难点：理解平面向量基本定理及其意义. 1．平面向量基本定理 如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2．基 我们把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基，记为{e1，e2}． 3．正交基及正交分解 若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基．在正交基下向量的线性表示称为正交分解．若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基． 1．平面向量基本定理的作用 平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 2．基的性质 (1)不共线性 平面内两个不共线的向量才可以作为一组基．由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基． (2)不唯一性 对基的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基{e1，e2}线性表示． 1．若e1，e2是平面内的一组基，则下列四组向量能作为平面向量的基的是(　　) A．e1－e2，e2－e1　　　 B．2e1－e2，e1－e2 C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2 答案：D 2．已知D是△ABC中AB边的中点，则向量＝(　　) A．－＋ B．－ C．－－ D．＋ 答案：A 3．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________． 答案：4e1＋3e2 4．向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为________． 答案：3 ———————————————————————————————————— 基的判断及应用 ———————————————————————————————————————— [典例]　(多选)已知向量a＝2e1－e2，b＝e1＋2e2，c＝e1－e2，e1与e2不共线，则下面能构成基的一组向量是(　　) A．a与b　　　　　　　 B．a与c C．a－b与c D．a＋b与c [解析]　设a＝λb，即2e1－e2＝λ(e1＋2e2)，则无解，故a与b不共线，能构成基；同理可得，a与c，a＋b与c均不共线，均能构成基．∵a－b＝(2e1－e2)－(e1＋2e2)＝e1－3e2＝2＝2c，∴a－b与c共线，不能构成基． [答案]　ABD 判断所给的两个向量能否作为一组基的方法 由基的定义可知，要判断两个向量a，b能否作为一组基只需判断两向量是否共线，而判断向量是否共线就要看是否存在λ∈R，使a＝λb成立．另外，作为一组基的向量必为非零向量．　　 [对点训练] 1．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与， 其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基的是(　　) A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 解析：选B　①与不共线；②＝－，则与共线；③与不共线；④＝－，则与共线．由平面向量基的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基，故①③满足题意． 2．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，若a，b能作为一组基，则实数λ的取值范围为________． 解析：若a，b能作为一组基，则向量a，b不共线．由题可知，若向量a，b共线，则有λ＝4，故当向量a，b不共线时，λ≠4，即实数λ的取值范围是(－∞，4)∪(4，＋∞)． 答案：(－∞，4)∪(4，＋∞) ———————————————————————————————————— 用基表示平面向量 ———————————————————————————————————————— [典例]　(1)(多选)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，则下列结论中正确的是(　　) A．＝－a－b B．＝a＋b C．＝－a＋b D．＝a (2)如图所示，▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a，＝b，试用a，b表示向量，. 　　 [解析]　(1)如图，＝＋＝－b＋＝－b－a，A正确；＝＋＝a＋b，B正确；＝＋＝－b－a，＝＋＝＋＝b＋(－b－a)＝b－a，C正确；＝＝－a，D不正确． [答案]　ABC　 (2)＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋＝a－b.＝＋＋＝－＋＋＝b－a. 用基表示向量的三个依据和两个“模型” (1)依据： ①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义； ③数乘向量的几何意义