2.3.2 向量的数乘与向量共线的关系（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

3．2　向量的数乘与向量共线的关系 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.掌握共线(平行)向量基本定理及应用． 2.了解直线的向量表示形式． 重点难点 重点：共线向量基本定理的推导及应用． 难点：共线向量定理的理解. 1．共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a＝λb. 2．直线的向量表示 通常可以用＝t表示过点A，B的直线l，其中 称为直线l的方向向量． (1)对任意两个向量a，b，若存在不全为0的实数对(λ，μ)，使λa＋μb＝0，则a与b共线．证明如下：若a，b中至少有一个为零向量，显然成立．若a，b均为非零向量，不妨设μ≠0，则b＝－a，说明a与b共线． 但若向量a，b不共线，当λa＋μb＝0时，一定有λ＝μ＝0. (2)一般地，解决向量a，b共线问题，可用两个不共线向量(如e1，e2)表示向量a，b，设b＝λa(a≠0)，化成关于e1，e2的方程Φ(λ)e1＋φ(λ)e2＝0，由于e1，e2不共线，则解方程组即可． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a∥b，则存在λ∈R，使得b＝λa.(　　) (2)若＝3，则与共线．(　　) (3)一个点A和一个非零向量可以唯一确定过点A与向量平行的直线l.(　　) (4)若点P是AB的中点，点O为直线AB外一点，则＝(＋)．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 3．已知a与b共线，且方向相同，若|a|＝8|b|，则a＝________b. 解析：∵a与b共线，且方向相同，∴a＝λb(λ＞0)．∴|a|＝|λb|＝|λ||b|. 又|a|＝8|b|，∴|λ|＝8.∴λ＝8. 答案：8 ———————————————————————————————————— 向量共线的判定 ———————————————————————————————————————— [典例]　判断下列各小题中的向量a，b是否共线(其中e1，e2是两个不共线向量)． (1)a＝5e1，b＝－10e1； (2)a＝e1－e2，b＝3e1－2e2； (3)a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2. [解]　(1)∵b＝－2a，∴a与b共线． (2)∵a＝b，∴a与b共线． (3)设a＝λb，则e1＋e2＝λ(3e1－3e2)，∴(1－3λ)e1＝－(1＋3λ)e2.∵e1与e2是两个不共线向量，∴这样的λ不存在，因此a与b不共线． 向量共线的判定一般是用其判定定理，即a是一个非零向量，若存在唯一一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线．　　 [对点训练] 已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，则下列向量一定共线的是(　　) A．与 B．与　C．与 D．与 解析：选B　因为＋＋＝，所以＋＋＋＝0，即－2＝，所以与共线．故选B. ———————————————————————————————————— 三点共线的证明 ———————————————————————————————————————— [典例]　已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线. [解]　∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，∴＝－＝e1－4e2.又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，∴＝2，∴∥.∵AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线． 证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ (或＝λ等)即可． (2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1.　　 [对点训练] 1．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则(　　) A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 解析：选B　＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，又∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线． 2．已知a，b是不共线的两非零向量，＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，证明A，B，C三点共线． 证明：∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2(a＋2b)＝－2，∴与共线，又与有公共点，∴A，B，C三点共线． ———————————————————————————————————— 利用向量共线求参数 ————————————————————