1.7.1&1.7.2 正切函数的定义正切函数的诱导公式（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

7．1 & 7.2　正切函数的定义　正切函数的诱导公式 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.借助单位圆理解正切函数的定义并能画出其图象． 2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出正切函数的诱导公式． 重点难点 重点：运用正切函数定义及诱导公式求值． 难点：理解正切函数图象的定义及正切函数的诱导公式. (一)正切函数的定义 1．定义 根据函数的定义，比值是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝tan x，其中定义域为. 2．用角的终边上的点的坐标表示正切函数 若角α的终边上任取一点Q(x，y)(x≠0)， 则tan α＝. 3．正切函数值的符号 由正切函数的定义知：当角α的终边在第一和第三象限时，正切值为正；当角α的终边在第二和第四象限时，正切值为负． (1)若一个角的某一个正切函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出，首先要根据已知的正切函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置，然后分不同的情况求解． (2)化简正切函数式常用技巧 减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及sin α，cos α的分式问题，常采用分子分母同时除以cosnα(n∈N＋)，将被求式化为关于tan α的式子． ———————————————————————————————————————— 4．特殊角的正切函数值如下表 α 0 π tan α 0 1 不存在 － －1 － 0 α 2π tan α 1 不存在 － －1 － 0 1．已知角α的终边与单位圆的交点为P，则tan α＝(　　) A.　　　　　　　 B．－ C. D．－ 答案：B 2．若角α的终边上有一点是A(0,2)，则tan α的值是(　　) A．－2 B．2 C．1 D．不存在 答案：D (二)正切函数的诱导公式 (1)tan(kπ＋x)＝tan_x(k∈Z)； (2)tan(－x)＝－tan_x； (3)tan(x＋π)＝tan_x； (4)tan(π－x)＝－tan_x； (5)tan＝－； (6)tan＝. (1)正切函数的诱导公式可以用正、余弦函数诱导公式一样的方法记忆，即“奇变偶不变，符号看象限”． (2)利用诱导公式求任意角的正切函数值的步骤与求任意角的正弦函数值、余弦函数值的步骤相同，都是依据“负化正，大化小，化为锐角再求值”，即由未知转化为已知的化归思想． (3)诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取． 1．公式tan(π－x)＝－tan x成立的条件是(　　) A．x为锐角 B．x为不等于的任意角 C．x为任意角 D．x≠kπ＋(k∈Z) 答案：D 2．下列诱导公式中错误的是(　　) A．tan(π－x)＝－tan x B．cos＝sin x C．sin(π＋x)＝－sin x D．cos(π－x)＝－cos x 答案：B 3．tan 的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案：D ———————————————————————————————————— 正切函数的定义 ———————————————————————————————————————— [典例]　在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则tan α＝__________. 　　 [解析]　由题意，设点A的坐标为， 所以x2＋2＝1，解得x＝或x＝－. 当x＝时，角α在第一象限，tan α＝＝； 当x＝－时，角α在第二象限，tan α＝＝－. [答案]　± 已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．　　 [对点训练] 1．已知角α的终边在直线y＝2x上，则tan α的值为(　　) A．2　　 B．±2　　　C.　　　D．± 解析：选A　在角α的终边上任取一点(k,2k)(k≠0)，则tan α＝＝2. 2．若角θ的终边经过点A，且tan θ＝，则m＝________. 解析：由tan θ＝＝＝，解得m＝－. 答案：－ ———————————————————————————————————— 利用诱导公式求值 ———————————————————————————————————————— [典例]　求下列三角函数的值： (1)tan(－870°)·tan 930°＋tan(－1 380°)·tan(－690°)； (2)tan 10°tan 20°tan 30°tan 45°tan 60°tan 70°tan 80