第一章 §7 7.1　正切函数的定义 7.2　正切函数的诱导公式（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

(1) 求 f (x) 的解析式； (2) 将 f (x) 图象上所有点的横坐标缩短为原来的1 2 (纵坐标不变)，再将所得图象向右平移 π 个单位长度，得到函数 g (x) 的图象．若 g (x) 在区间[0，m] 上不单调，求 m 的取值范围． 3 解析： (1)由图可知，A＝2. 7π π ( ＝ )f (x) 的最小正周期 T 4 × 6 ＋ 3 3 ＝2π，所以ω 2π ( ＝ )T ＝1. 7π 因为 f 6 ＝2sin 7π＋φ 6 ＝－2， 所以7π 6 π ＋φ＝3π 2 ＋2kπ，k∈Z，φ＝π 3 ( x ＋ π 3 )π ＋2kπ，k∈Z. 又|φ| < 2 ，所以φ＝ 3 ，故 f(x) ＝2sin . (2)由题可知，g(x) ＝2sin x－π π 2 3 ＋ 3 2x－π ＝2sin 3 . 当 0≤x≤m 时，－π 3 ≤2x－π 3 ≤2m－π . ( > )3 ( > )因为 g (x) 在区间[0，m] 上不单调，所以 2m－π 3 π ，解得 m 5π . 2 12 故 m 的取值范围为 5π ，＋∞ 12 . §7 正切函数 7．1 正切函数的定义 7.2 正切函数的诱导公式 [学习目标] 1.理解正切函数的定义.2.掌握正切函数的诱导公式． 知识点一 正切函数的定义 1. 根据函数的定义，比值sin x 是 x 的函数，称为 x 的正切函数，记作 y＝tan x，其中 cos x |x≠π 定义域为{x∈R 2 ＋kπ，k∈Z}． [点拨] 若 x＝π 2 ＋kπ(k∈Z)，则角 x 的终边落在 y 轴上，此时 cos x＝0，比值sin x 无 cos x 意义，因此正切函数的定义域为 x∈R|x π ≠ ＋kπ，k∈Z 2 . 2. 若角α的终边上任取一点 Q(x，y)(x≠0)，则 tan α＝y ． x [点拨] 三角函数值的符号变化规律可概括为“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即第一象限各三角函数值均为正，第二象限只有正弦值为正，第三象限只有正切值为正，第四 象限只有余弦值为正． 已知角α的终边经过点 P(－4a，3a)(a≠0)，求 sin α，cos α，tan α的值． 解析： r＝ （－4a）2＋（3a）2 ＝5|a|， ( ＝ )若 a>0，则 r＝5a，角α在第二象限，sin α y r 3a 3 ( ＝ )＝ 5a 5 ，cos α x ( ＝ )r －4a ＝ 5a ＝－4 ， 5 tan α＝y x ＝ 3a －4a ＝－3 . 4 若 a<0，则 r＝－5a， 角α在第四象限，sin α＝－3 ， 5 cos α＝4 5 ，tan α＝－3 . 4 学生用书 第 37 页 方法技巧 已知角α终边上任一点的坐标(m，n)，利用定义求 tan α时，其值与该点的位置无关， 且 tan α＝ n m .但要注意判断角α 所在象限． 即时练 1.已知角α的顶点与坐标原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边经 过点 P(1，a)，且 sin α＝－1 3 A. 2 2 C．－ 2 4 ，则 tan α＝( ) B. 2 4 D．－ 2 2 ( 1 ＋ a 2 )C [由题意得|OP|＝ 1＋a2 ，所以 sin α＝ a ＝－1 ， 3 所以 a<0 且 a2＝1 8 ，解得 a＝－ 2 4 .所以 tan α＝a＝－ 2 4 .故选 C.] 即时练 2.若对任意 a＞0 且 a≠1，函数 f(x)＝ax＋1＋1 的图象都过定点 P，且点 P 在角θ的终边上，则 tan θ＝ ． 解析： 令 x＋1＝0，求得 x＝－1，y＝2， 可得函数 f(x)＝ax＋1＋1(a＞0，且 a≠1)的图象经过定点 P(－1，2)， 又点 P 在角θ的终边上，则 tan θ＝ 2 －1 ＝－2. 答案： －2 知识点二 正切函数的诱导公式 tan (x＋kπ)＝tan_x(k∈Z)； tan (－x)＝－tan x； tan (x＋π)＝tan_x； tan (π－x)＝－tan x； tan π ( x )＋ 2 ＝－ 1 ； tan π－x 2 tan x ＝ 1 ． tan x [点拨] 正切函数的诱导公式仍可以用“奇变偶不变，符号看象限”来记忆． 求下列各式的值． (1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°； (2) tan 225°＋tan 750° . tan （－30°）－tan （－45°） 解析： (1)原式＝7cos (180°＋90°)＋3sin (180°＋90°)＋tan (2×360°＋45°) ＝－7cos 90°－3sin 90°