1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

4．2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.借助单位圆，了解正(余)弦函数的定义域、周期性、单调性、最值． 2.了解正(余)弦函数值的符号． 重点难点 重点：正弦函数、余弦函数性质的应用． 难点：理解正弦函数、余弦函数的性质. (一)正弦函数和余弦函数的基本性质 基本性质 正弦函数 余弦函数 定义域 R 最值 当α＝2kπ＋，k∈Z时，正弦函数v＝sin α取得最大值1；当α＝2kπ－，k∈Z时，正弦函数v＝sin α取得最小值－1 当α＝2kπ，k∈Z时，余弦函数u＝cos α取得最大值1；当α＝(2k＋1)π，k∈Z时，余弦函数u＝cos α取得最小值－1 值域 [－1,1] 周期性 sin(α＋2kπ)＝sin_α，cos(α＋2kπ)＝cos_α，其中k∈Z，α∈R，正弦函数v＝sin α和余弦函数u＝cos α均是周期函数，对任何k∈Z且k≠0,2kπ均是它们的周期，最小正周期为2π 单调性 正弦函数v＝sin α在区间(k∈Z)上单调递增，在区间(k∈Z)上单调递减 余弦函数u＝cos α在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增，在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减 正弦函数值和余弦函数值都具有周期性，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，这说明了角与正弦函数值和余弦函数值的对应关系是多角对一值的关系，即如果给定一个角，它的正弦函数值和余弦函数值只要存在就是唯一的；反过来，如果给定一个正弦函数值和余弦函数值，却有无穷多个角与之对应． 1. 函数f(x)＝1＋sin x在区间上的最小值为(　　) A．－1　　 B．0　　　C．1　　　D．2 解析：选C　因为x∈时，0≤sin x≤1， 所以1≤1＋sin x≤2. 2．函数y＝2－2cos x的单调递增区间是______________． 答案：[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 3．函数y＝2sin x－1的值域是________． 解析：∵x∈R，∴－1≤sin x≤1，∴－3≤2sin x－1≤1，∴y∈[－3,1]． 答案：[－3,1] (二)正弦函数值和余弦函数值的符号 如图，在平面直角坐标系中， (1)当点P(u，v)在第一、第二象限或y轴的正半轴时，正弦函数值(v＝sin α)为正;当点P在x轴上时，正弦函数值为零；当点P在第三、第四象限或y轴的负半轴时，正弦函数值为负． (2)当点P在第一、第四象限或x轴的正半轴时，余弦函数值为正;当点P在y轴上时，余弦函数值为零；当点P在第二、第三象限或x轴的负半轴时，余弦函数值为负． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α是三角形的内角，则必有sin α＞0.(　　) (2)若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边与单位圆的交点，则cos α＝－x.(　　) (3)若sin α＞0，则α是第一或第二象限角．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．若角α是第三象限角，则点P(2，sin α)所在象限为(　　) A．第一象限　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选D　由α是第三象限角知，sin α＜0，因此P(2，sin α)在第四象限，故选D. ———————————————————————————————————— 正弦函数的基本性质及应用 ———————————————————————————————————————— [典例]　 已知函数y＝－3sin x＋1. (1)求函数的定义域、值域、周期、单调区间； (2)求函数在区间上的最值． [解]　(1)由正弦函数v＝sin x的性质可得函数y＝－3sin x＋1的性质如下：定义域：R.值域：[－2,4]．周期性：周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期为2π.单调性：由v＝sin x在区间(k∈Z)上单调递增，在(k∈Z)上单调递减，知y＝－3sin x＋1在区间(k∈Z)上单调递减，在区间(k∈Z)上单调递增． (2)因为正弦函数v＝sin x在区间上单调递增，在区间上单调递减，且sin＝－，sin＝，所以v＝sin x在x＝－时，取得最小值－，在x＝时，取得最大值1.故y＝－3sin x＋1在上的最大值是－3×＋1＝；最小值是－3×1＋1＝－2. 对于形如y＝asin x＋b的函数性质的研究可借助正弦函数v＝sin x的性质．要清楚a，b对函数y＝asin x＋b的影响，若参数不确定还要注意分类讨论．　　 [对点训练] 1．下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是(　　) A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上