1.1 周期变化（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

　 §1　周期变化 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.了解周期变化，能判断简单的实际问题中的周期． 2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期． 重点难点 重点：感受周期的存在，会判断某种变化是否为周期变化． 难点：周期函数概念的理解及简单应用. 1．周期函数的概念 一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D，且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数．非零常数T称作这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)的最小正周期． (1)周期T是一个非零常数，是使函数值重复出现的自变量x的增加量． (2)周期函数的周期不是唯一的，如果T是函数f(x)的周期，那么nT(n∈N，n≠0)也一定是它的周期． (3)不是所有的周期函数都有最小正周期，如函数f(x)＝1是周期函数，但无最小正周期． (4)常见周期函数的形式 周期函数除常见的定义式f(x＋T)＝f(x)外，还有如下四种形式： ①f(x＋a)＝－f(x)；②f(x＋a)＝； ③f(x－a)＝－；④f(x－a)＝f(x＋a)． 以上四种形式的函数都是以2a为周期的周期函数． 1．你能列举生活中的几个周期变化的实例吗？ 提示：生活中周期变化的实例有很多，如钟摆的摆动、地球的公转、路口的红绿灯变化等． 2．如果钟摆每经过2 s就回到竖直状态，那么每经过多少秒可以再回到最左边位置呢？ 提示：回到竖直状态的时间间隔为2 s，即半个周期，而再回到最左边的间隔时间，也就是一个周期，所以是4 s. ———————————————————————————————————— 对周期变化的理解 ———————————————————————————————————————— [典例]　下列变化中不是周期现象的是(　　) A．“春去春又回” B．钟表的分针每小时转一圈 C．天干地支表示年、月、日的时间顺序 D．某交通路口每次绿灯通过的车辆数 [解析]　由周期现象的概念易知，某交通路口每次绿灯通过的车辆数不是周期现象．故选D. [答案]　D 要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间，这种现象是否会重复出现，若出现，则为周期现象，否则不是周期现象．　　 [对点训练] 造父变星是一类高光度周期性脉动变星，其亮度随时间呈周期性变化．下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图，由图可知此造父变星亮度变化的周期是(　　) A．5.5天　 B．7天　　C．14天　　D．20天 解析：选B　由题图可以看出该造父变星的亮度每经过7天等级相同，所以此变星亮度变化的周期是7天． ———————————————————————————————————— 判断函数的周期 ———————————————————————————————————————— [典例]　下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(　　) [解析]　对于D，x∈(－1,1)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数． [答案]　 D 　　 确定函数周期的几种方法 (1)观察法：通过列举前几项结果，观察发现其周期并验证； (2)图象法：通过观察函数的图象，根据图象的特征判定并得到周期； (3)定义法：确定非零实数T，通过证明f(x＋T)＝f(x)对定义域内任意x都成立．　　 [对点训练] 设函数y＝f(x)，x∈R.若函数y＝f(x)为偶函数并且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，求证：函数y＝f(x)为周期函数． 证明：由图象关于直线x＝a对称得f(2a－x)＝f(x)，即f(2a＋x)＝f(－x)．因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，从而f(2a＋x)＝f(x)，所以f(x)是以2a为周期的周期函数． ———————————————————————————————————— 利用函数的周期求值 ———————————————————————————————————————— [典例]　设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)＝________. [解析]　因为f(x＋2)＝f(x)， 所以函数f(x)的周期T＝2. 又当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2， 所以f(0)＝0，f(1)＝1， 所以f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 022)＝0， f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 021)＝1. 故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)＝1 011. [答案]　1 011 利用周期解题的方法 (1)利用周期函数的定义，将目标值转化到已知区间内，结合所给条件求解； (2)应用周期现象中“周而复始”的规律性达到“化繁为简”“化无限为有限”的目的，方法是确定好周期现象中重复出现的“基本单位”，就可以把问题转化到一个周期内来解决．　　 [对点训练] 1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)＝f(x＋4)，且f(1)＝1，则f(2 019)＋f(2 020)＝(　　) A．－1　　　 B．0　　　　C．1　　　　D．2 解析：选A　因为f(x)＝f(x＋4)， 所以函数的周期T＝4， 所以f(2 019)＝f(－1)，f(2 020)＝f(0)． 又f(x)是R上的奇函数，f(1)＝1， 所以f(－1)＝－f(1)＝－1，f(0)＝0， 所以f(2 019)＋f(2 020)＝－1＋0＝－1. 2.已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为________． 解析：因为f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数， 所以f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)， 因为f(1)<1，f(5)＝， 所以<1，即<0，解得－1<a<4. 答案：(－1,4) 发展理性思维 1．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13. 若f(1)＝2，则f(99)＝________. 解析：因为f(x)·f(x＋2)＝13，所以f(x＋2)＝，f(x＋4)＝＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．所以f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝＝. 答案： 2.如图所示的弹簧振子在A，B之间做简谐运动，振子向右运动时，先后以相同的速度通过M，N两点，经历的时间为t1＝1 s，过N点后，再经过t2＝1 s第一次反向通过N点，振子在这2 s内共通过了8 cm的路程，则振子的振动周期T＝________s. 解析：设振子的振动周期为T，则振子由平衡位置O点运动到B点的时间为，而振子以相同的速度通过M，N两点经历的时间为t1＝1 s，则O点到N点的时间为，又向右经N→B→N的时间为t2＝1 s，则N点到B点的 时间为，所以＝＋＝＋＝1，所以T＝4 s. 答案：4 注重实践应用 3．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥被称为“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…，共得到60个组合，周而复始，循环记录.2010年是“干支纪年法”中的庚寅年，那么2022年是“干支纪年法”中的(　　) A．己亥年　　　　　　　 B．戊戌年 C．壬寅年 D．辛丑年 解析：选C　由题意，2 022－2 010＝12.∵“天干”以10为周期，∴2022年为“壬”．∵“地支”以12为周期， ∴2022年为“寅”，即2022年为壬寅年． 4．十字路口处红绿灯亮灭的情况如下：1 min亮绿灯，接着10 s亮黄灯，再接着1 min亮红灯，10 s亮黄灯，1 min亮绿灯……刚开始亮绿灯时，某人过路口，10 min后又回到此路口，此时应该亮______灯. 解析：红绿灯的亮灭以140 s为一个周期，600＝140×4＋40，所以是绿灯． 答案：绿 学科网（北京）股份有限公司 $