专题10 导数的综合运用-2023年高考数学二轮优化提升专题训练（新高考地区专用）

专题10 导数的综合运用 1、【2022年全国乙卷】已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 2、【2021年新高考2卷】已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______． 3、【2022年全国甲卷】已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则环． 4、【2022年全国乙卷】已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围． 5、【2022年新高考1卷】已知函数和有相同的最小值． (1)求a； (2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 6、【2022年新高考2卷】已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 7、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． 8、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 9、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若的图像与轴没有公共点，求a的取值范围. 9、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 题组一、函数的零点、极值点的综合性问题 1-1、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）（多选题）设函数，，则下列说法正确的有（ ） A．不等式的解集为； B．函数在单调递增，在单调递减； C．当时，总有恒成立； D．若函数有两个极值点，则实数 1-2、（2021·山东青岛市·高三期末）设函数的图象在点处的切线为，若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是__________． 1-3、(2022·湖北省新高考联考协作体高三起点考试)函数，关于x的方程0恰有四个不同实数根，则实数m的取值范围为__________． 1-4、（2022·河北深州市中学高三期末）已知函数． (1)证明：函数在上存在唯一的零点； (2)若函数在区间上的最小值为1，求a的值． 题组二、利用导数研究不等式及证明问题 2-1、（2022·山东青岛·高三期末）已知函数. (1)求曲线处的切线方程； (2)若方程有两个实根，且 （I）求m的取值范围； （Ⅱ）求证：. 2-2、（2021·山东聊城市·高三三模）已知． （1）当时求的极值点个数； （2）当时，，求a的取值范围； （3）求证：，其中． 题组三、利用导数研究含参问题 3-1、【2022·广东省阳春市第一中学10月月考】 若对任意的，恒成立，则实数a的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3-2、（2021·山东济南市·高三二模）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______． 3-3、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数 (1)求函数的极值； (2)设，为两个不等的正数，且，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 1、（2022·山东临沂·高三期末）已知函数，，． (1)若在上单调递增，求a的最大值； (2)当a取（1）中所求的最大值时，讨论在R上的零点个数，并证明． 2、（2022·河北张家口·高三期末）已知函数. (1)当时，证明：函数在区间上单调递增； (2)若，讨论函数的极值点的个数. 3、（2022·山东泰安·高三期末）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 导数的综合运用 1、【2022年全国乙卷】已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 【答案】 【解析】解：， 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以当时，，当时，， 若时，当时，，则此时，与前面矛盾， 故不符合题意， 若时，则方程的两个根为， 即方程的两个根为， 即函数与函数的图象有两个不同的交点， ∵,∴函数的图象是单调递减的指数函数， 又∵,∴的图象由指数函数向下关于轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到，如图所示： 设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为， 故切线方程为， 则有，解得， 则切线的斜率为， 因为函数与函数的图象有两个不同的交点， 所以，解得， 又，所以， 综上所述，的范围为. 2、【2021年新高考2卷】已知函数，函