用几何法证明极点极线

用几何法证明极点极线 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不属于高考考查的范围.但由于极点与极线是圆锥曲线的基本特征，因此在高考试题中会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景. 下面我将用几何方法证明一个与极点极线有关的命题.C P A B O x D y Q 【命题】如图，点P（x0，y0）是椭圆C：（a﹥b﹥0）外一点，过点P任意引两条割线依次交椭圆于点A、B、C、D四点，连接AC、BD交于点Q，则点Q在点P对应的切点弦所在直线上（即点P对应的极线为点P对应的切点弦所在直线）. 为更好地证明上述命题，先介绍两个重要的几何定理. 1、 两个重要的几何定理 1. 梅涅劳斯定理：如果一条不过A，B，C三点的直线与△ABC的边BC，CA，AB所在直线分别交于X，Y，Z（如图1-1-1），则. A X B C 图1-1-1 Z Y 【证明】如图1-1-2，过点X做XM//AB交直线ZC于点M，过点C做CN//AB交直线XY于点N. ∴. A N M X B C 图1-1-2 Z Y 2. 塞瓦定理：如图1-2-1，点X，Y，Z分别是△ABC的边BC，CA，AB所在直线的点，且AX，BY，CZ交于点P，则.B X C 图1-2-2 A Z D Y M N 【证明】如图1-2-2，过点B做BM//AX交直线ZC于点M，过点C做CN//AX交直线BY于点N.B X C 图1-2-1 A Z D Y ∴. 现给出上述命题的详细证明过程. 2、 命题的证明 点P（x0，y0）对应的切点弦所在直线的方程为. 设A（x1，y1），B（x2，y2），设线段AB上一点M（xM，yM）满足关系式（﹥0且）（即P，M，A，B成调和点列），则，. ∴①， ②， ∴P（，），M（，）. Q C R P B D A y O x N M 图2 ∵点A，B在椭圆C：上， ∴， ③-④，得 . 结合①②可得：， ∴点M在直线上，即点M在点P对应的切点弦所在直线上. 同理可证得线段CG上满足关系式（﹥0且）（即P，N，C，D成调和点列）的点N（xN，yN）在点P对应的切点弦所在直线上. ∴直线MN为点P对应的切点弦所在直线. 如图2，延长AC，BD交于点R，连接RQ，交AB于点M’，交CD于点N’. 在△ABR中，由梅涅劳斯定理得：⑤，由塞瓦定理得： ⑥. 结合⑤⑥可得：. ∵点M’与点P不重合，∴点M’与点M重合. 同理可证得点N’与点N重合. ∴直线M’N’与直线MN重合. ∴点Q在直线MN上，即点Q在点P对应的切点弦所在直线上. ∴点Q的轨迹为点P对应的切点弦所在直线，即点P对应的极线为点P对应的切点弦所在直线.命题得证. 3、 结论应用 事实上，若点P在圆锥曲线Γ上，则其对应的极线是曲线Γ在点P处的切线；若点P在圆锥曲线Γ外，则其对应的极线是点P对应的切点弦所在直线；若点P在圆锥曲线Γ内，则其对应的极线是曲线Γ过点P的割线两端点处的切线的交点的轨迹. 设点P在有心圆锥曲线Γ（设其中心为点O）外一点，射线OP与曲线Γ交于点R，与点P对应的极线交于点Q，则有.现以椭圆为例给出证明. 【证明】如图3，延长RO与椭圆于点R’. ∵点O为椭圆的中心，∴.R’ 图3 · · P Q R O ∵点Q在点P对应的极线上， ∴P，M，A，R’成调和点列， ∴. ∴. ∴()·()=()· () . 化简可得：.命题得证. 四、结语 极点极线的证明方法不止一种，而借助梅涅劳斯定理和塞瓦定理来证明是较为简便的一种.高中生对极点极线的学习不必太深入，但适度的了解能帮助我们先预判结果，再展开计算，有助于我们提高解圆锥曲线相关题的速度和提升解题的综合能力. （2023年1月18日） $